随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率. .

考查要点：本题主要考查几何概率的计算，涉及线性不等式与二次不等式的交集区域面积求解。

解题核心思路：

1. 确定样本空间：两个变量$x$和$y$均在$[0,1]$范围内，构成单位正方形，面积为1。
2. 确定目标区域：需同时满足$x + y \leq 1$（三角形区域）和$xy \geq 0.09$（双曲线右侧区域）。
3. 求交集面积：通过积分计算满足条件的区域面积，最终概率即为该面积。

破题关键点：

• 联立方程求交点：找到直线$x + y = 1$与双曲线$xy = 0.09$的交点$(0.1, 0.9)$和$(0.9, 0.1)$。
• 积分区间与表达式：对称性简化计算，积分区间为$x \in [0.1, 0.9]$，积分表达式为$\int_{0.1}^{0.9} \left[(1 - x) - \frac{0.09}{x}\right] dx$。

1. 确定样本空间
   $x$和$y$均在$[0,1]$内，样本空间为边长为1的正方形，面积为$1 \times 1 = 1$。

2. 分析约束条件

   • 条件1：$x + y \leq 1$，对应单位正方形内的三角形区域，面积为$\frac{1}{2}$。
   • 条件2：$xy \geq 0.09$，对应双曲线$xy = 0.09$上方的区域。

3. 求交点
   联立$x + y = 1$和$xy = 0.09$，解得交点为$(0.1, 0.9)$和$(0.9, 0.1)$。

4. 积分计算目标区域面积
   在$x \in [0.1, 0.9]$范围内，$y$的取值范围为$\frac{0.09}{x} \leq y \leq 1 - x$，面积为：
   $\int_{0.1}^{0.9} \left[(1 - x) - \frac{0.09}{x}\right] dx = 0.4 - 0.09 \ln 9 \approx 0.2$