(17)(本题满分10分)-|||-设函数 y=y(x) 是微分方程 '+dfrac (1)(2sqrt {x)}y=2+sqrt (x) 的满足 y(1)=3 的解,求曲线 y=-|||-y(x)的渐近线.

考查要点：本题主要考查一阶线性微分方程的解法及函数渐近线的求解方法。

解题核心思路：

1. 识别微分方程类型：题目给出的方程为一阶线性微分方程，标准形式为$y' + P(x)y = Q(x)$，需使用积分因子法求解。
2. 求解微分方程：通过计算积分因子，将方程转化为可直接积分的形式，得到通解后利用初始条件确定特解。
3. 分析渐近线：对特解函数进行极限分析，判断当$x \to +\infty$时函数的行为，确定斜渐近线。

破题关键点：

• 积分因子的计算：正确计算积分因子$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx}$。
• 积分过程：对右侧积分$\int e^{\sqrt{x}} (2 + \sqrt{x}) dx$需分部积分多次，注意代数化简。
• 渐近线判定：当$x \to +\infty$时，特解中的指数项$e^{1 - \sqrt{x}}$趋近于$0$，剩余项$2x$决定斜渐近线。

求解微分方程

1. 确定积分因子
   方程的标准形式为：
   $y' + \frac{1}{2\sqrt{x}} y = 2 + \sqrt{x}$
   积分因子为：
   $\mu(x) = e^{\int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx} = e^{\sqrt{x}}$

2. 方程变形与积分
   两边乘以积分因子：
   $e^{\sqrt{x}} y' + \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} y = e^{\sqrt{x}} (2 + \sqrt{x})$
   左侧为$\frac{d}{dx} \left( e^{\sqrt{x}} y \right)$，积分得：
   $e^{\sqrt{x}} y = \int e^{\sqrt{x}} (2 + \sqrt{x}) dx + C$

3. 计算右侧积分
   通过变量代换$t = \sqrt{x}$，分部积分后化简得：
   $\int e^{\sqrt{x}} (2 + \sqrt{x}) dx = 2x e^{\sqrt{x}} + C$

4. 通解与特解
   代入积分结果并整理：
   $y = 2x + C e^{-\sqrt{x}}$
   利用初始条件$y(1) = 3$，解得$C = e$，故特解为：
   $y = 2x + e^{1 - \sqrt{x}}$

分析渐近线

当$x \to +\infty$时，指数项$e^{1 - \sqrt{x}} \to 0$，因此：
$y \approx 2x$
故曲线有一条斜渐近线$y = 2x$。