下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是( )。A.f(x)= ) 2(1-|x|)|x|leqslant 1 0 .

概率密度函数必须满足两个条件：

1. 非负性：对任意实数$x$，$f(x) \geq 0$；
2. 归一性：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。

本题需逐一验证选项是否满足这两个条件。关键在于：

• 非负性：检查函数定义是否非负；
• 归一性：计算积分是否为1。

选项A

$f(x)= \begin{cases} 2(1-|x|) & |x| \leqslant 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$

1. 非负性：当$|x| \leqslant 1$时，$1-|x| \geq 0$，故$2(1-|x|) \geq 0$，满足非负性。
2. 归一性：计算积分：
   $\int_{-1}^{1} 2(1-|x|) \, dx = 2 \int_{0}^{1} 2(1-x) \, dx = 4 \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \neq 1$
   不满足归一性，排除。

选项B

$f(x)= \begin{cases} 0.5 & |x| \leqslant 2 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$

1. 非负性：$0.5 \geq 0$，满足非负性。
2. 归一性：计算积分：
   $\int_{-2}^{2} 0.5 \, dx = 0.5 \cdot 4 = 2 \neq 1$
   不满足归一性，排除。

选项C

$f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{0\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-a)^2}{2a^2}} & x \geqslant 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$

1. 非负性：分母为$0$，表达式无意义，函数本身不合法，排除。

选项D

$f(x)= \begin{cases} e^{-x} & x > 0 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$

1. 非负性：$e^{-x} > 0$（$x > 0$时），其他情况为$0$，满足非负性。
2. 归一性：计算积分：
   $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx = 1$
   满足归一性，正确。