5.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律如下.-|||-2 3-|||-X-|||-1 dfrac (1)(6) dfrac (1)(9) dfrac (1)(18)-|||-2 dfrac (1)(3) α β-|||-问:α,β取什么值时X与Y相互独立?

考查要点：本题主要考查二维离散型随机变量的独立性条件，需要根据联合分布律确定参数α和β的值，使得X与Y相互独立。

解题核心思路：

1. 独立性条件：X与Y独立当且仅当对所有i,j，有$P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \cdot P(Y=y_j)$。
2. 边缘分布计算：先通过联合分布律计算X和Y的边缘分布。
3. 方程联立求解：利用独立性条件建立方程，结合概率和为1的约束条件求解α和β。

破题关键点：

• 验证边缘分布的乘积是否等于联合概率，尤其注意未知参数对应的单元格。
• 利用概率和为1的隐含条件，确保解的合理性。

步骤1：确定X和Y的边缘分布

• X的边缘分布：

  • $P(X=1) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{3}$
  • $P(X=2) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$

• Y的边缘分布（需结合未知参数）：

  • $P(Y=1) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}$
  • $P(Y=2) = \dfrac{1}{9} + \alpha$
  • $P(Y=3) = \dfrac{1}{18} + \beta$

步骤2：利用独立性条件建立方程

根据独立性条件$P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \cdot P(Y=y_j)$，对含未知参数的单元格列方程：

1. 当$X=1, Y=2$时：
   $\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{9} + \alpha \right) \implies \alpha = \dfrac{2}{9}$

2. 当$X=1, Y=3$时：
   $\dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{18} + \beta \right) \implies \beta = \dfrac{1}{9}$

步骤3：验证概率和为1

所有概率之和应为1：
$\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{9} = 1$
验证通过，解合理。