2.求向量组: (alpha )_(1)=((1,1,3,1))^T (alpha )_(2)=((-1,1,-1,3))^T, (alpha )_(3)=((5,-2,8,-9))^T,-|||-(alpha )_(4)=((-1,3,1,7))^T 的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表-|||-示.

考查要点：本题要求找出向量组的一个极大无关组，并将其他向量用该组线性表示。核心在于矩阵的行简化阶梯形（RREF）的应用，通过行变换确定主元列，进而确定极大无关组。

解题思路：

1. 构造矩阵：将向量组作为矩阵的列向量排列。
2. 行变换化简：通过初等行变换将矩阵化为阶梯形，确定主元列对应的原向量即为极大无关组。
3. 线性表示：利用行简化后的矩阵，建立方程求解其他向量的线性组合系数。

关键点：

• 主元列对应极大无关组：行简化后，主元所在列对应的原向量构成极大无关组。
• 系数关系：非主元列可通过主元列的系数线性表示。

构造矩阵 $A = [\alpha_1 \; \alpha_2 \; \alpha_3 \; \alpha_4]$：
$A = \begin{pmatrix}1 & -1 & 5 & -1 \\1 & 1 & -2 & 3 \\3 & -1 & 8 & 1 \\1 & 3 & -9 & 7\end{pmatrix}$

行变换化简：

1. 第一列处理：用第一行消去下方元素：

   • $R2 = R2 - R1 \Rightarrow [0, 2, -7, 4]$
   • $R3 = R3 - 3R1 \Rightarrow [0, 2, -7, 4]$
   • $R4 = R4 - R1 \Rightarrow [0, 4, -14, 8]$

2. 第二列处理：用第二行消去下方元素：

   • 第二行归一化：$R2 = \frac{1}{2}R2 \Rightarrow [0, 1, -3.5, 2]$
   • $R3 = R3 - R2 \Rightarrow [0, 0, 0, 0]$
   • $R4 = R4 - 2R2 \Rightarrow [0, 0, 0, 0]$

化简后的矩阵：
$\begin{pmatrix}1 & -1 & 5 & -1 \\0 & 1 & -3.5 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

确定极大无关组：

• 主元列为第1列和第2列，对应$\alpha_1$和$\alpha_2$，故极大无关组为$\{\alpha_1, \alpha_2\}$。

线性表示：

1. $\alpha_3$的表示：
   • 从行简化矩阵第3列得方程：$\alpha_3 = \frac{3}{2}\alpha_1 - \frac{7}{2}\alpha_2$。
2. $\alpha_4$的表示：
   • 从行简化矩阵第4列得方程：$\alpha_4 = \alpha_1 + 2\alpha_2$。