题目
(1)设A是3阶方阵,α为3维列向量, =(a,Aa,(A)^2a) 为可逆矩阵, =(P)^-1AP, 且-|||-^3a+2(A)^2a=3Aa, 则 |A+E|= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定矩阵B的表达式
由于 $P=(\alpha ,A\alpha ,{A}^{2}\alpha )$ 为可逆矩阵，且 $B={P}^{-1}AP$ ，则 $B$ 可以表示为 $B=[ \begin{matrix} 0& 0& 0\\ 1& 0& 3\\ 0& 1& -2\end{matrix} ] $ 。
步骤 2：计算矩阵B+E的行列式
根据矩阵B的表达式，计算 $B+E$ 的行列式，即 $|B+E|$。其中，$E$ 是单位矩阵，因此 $B+E=[ \begin{matrix} 1& 0& 0\\ 1& 1& 3\\ 0& 1& -1\end{matrix} ] $ 。
步骤 3：计算行列式值
计算 $|B+E|$ 的值，即 $|B+E|=1(1\times(-1)-3\times1)-0+0=1(-1-3)=1(-4)=-4$ 。
步骤 4：利用矩阵P的可逆性
由于 $P$ 是可逆矩阵，因此 $|A+E|=|P||B+E||P^{-1}|=|B+E|$ 。
由于 $P=(\alpha ,A\alpha ,{A}^{2}\alpha )$ 为可逆矩阵，且 $B={P}^{-1}AP$ ，则 $B$ 可以表示为 $B=[ \begin{matrix} 0& 0& 0\\ 1& 0& 3\\ 0& 1& -2\end{matrix} ] $ 。
步骤 2：计算矩阵B+E的行列式
根据矩阵B的表达式，计算 $B+E$ 的行列式，即 $|B+E|$。其中，$E$ 是单位矩阵，因此 $B+E=[ \begin{matrix} 1& 0& 0\\ 1& 1& 3\\ 0& 1& -1\end{matrix} ] $ 。
步骤 3：计算行列式值
计算 $|B+E|$ 的值，即 $|B+E|=1(1\times(-1)-3\times1)-0+0=1(-1-3)=1(-4)=-4$ 。
步骤 4：利用矩阵P的可逆性
由于 $P$ 是可逆矩阵，因此 $|A+E|=|P||B+E||P^{-1}|=|B+E|$ 。