题目

设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球，m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取-只球.问取到白球的概率是多少？

设有甲、乙两袋，甲袋中装有$n$只白球，$m$只红球；乙袋中装有$N$只白球、$M$只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取$-$只球.问取到白球的概率是多少？

题目解答

答案

设$A_{1}$、$A_{2}$分别表示从甲、乙袋中取到白球，则

$Pleft(A_{1}right)=dfrac{n}{n+m}$，

$Pleft(overline{dot{A_{1}}}right)=dfrac{m}{n+m}$，

$Pleft(A_{2}|A_{1}right)=dfrac{N+1}{N+M+1}$，

$Pleft(A_{2}|overline{dot{A_{1}}}right)=dfrac{N}{N+M+1}$.

由全概率公式，可得：

$Pleft(A_{2}right)=Pleft(A_{2}|A_{1}right)Pleft(A_{1}right)+Pleft(A_{2}|overline{dot{A_{1}}}right)Pleft(overline{dot{A_{1}}}right)$

$=dfrac{N+1}{N+M+1}dfrac{n}{n+m}+dfrac{N}{N+M+1}dfrac{m}{m+n}$

$=dfrac{mN+nleft(N+1right)}{left(N+M+1right)left(n+mright)}$.

解析

考查要点：本题主要考查全概率公式的应用，以及条件概率的理解。关键在于分析从甲袋放入乙袋的球对乙袋组成的影响，进而计算最终取到白球的概率。

解题思路：

  1. 分类讨论：根据从甲袋取出的球是白球还是红球，将问题分解为两种互斥的情况。
  2. 条件概率计算：分别计算在每种情况下从乙袋取出白球的概率。
  3. 全概率公式：将两种情况的概率按权重（即甲袋取出对应颜色球的概率）相加，得到最终结果。

破题关键：

  • 明确事件关系：甲袋放入乙袋的球会改变乙袋的球数，需分情况讨论。
  • 正确应用公式：注意条件概率的计算和全概率公式的整合。

设：

  • $A_1$：从甲袋取出白球；
  • $\overline{A_1}$：从甲袋取出红球；
  • $A_2$：从乙袋取出白球。

步骤1：计算甲袋取出白球的概率
甲袋共有 $n + m$ 个球，其中白球 $n$ 个，因此：
$P(A_1) = \frac{n}{n + m}$

步骤2：计算甲袋取出红球的概率
同理，红球概率为：
$P(\overline{A_1}) = \frac{m}{n + m}$

步骤3：计算条件概率 $P(A_2 | A_1)$
若甲袋取出白球放入乙袋，乙袋此时有 $N + 1$ 个白球和 $M$ 个红球，总球数为 $N + M + 1$，因此：
$P(A_2 | A_1) = \frac{N + 1}{N + M + 1}$

步骤4：计算条件概率 $P(A_2 | \overline{A_1})$
若甲袋取出红球放入乙袋，乙袋白球数仍为 $N$，总球数为 $N + M + 1$，因此：
$P(A_2 | \overline{A_1}) = \frac{N}{N + M + 1}$

步骤5：应用全概率公式
将上述结果代入全概率公式：
$\begin{aligned}P(A_2) &= P(A_2 | A_1)P(A_1) + P(A_2 | \overline{A_1})P(\overline{A_1}) \\&= \frac{N + 1}{N + M + 1} \cdot \frac{n}{n + m} + \frac{N}{N + M + 1} \cdot \frac{m}{n + m} \\&= \frac{n(N + 1) + mN}{(N + M + 1)(n + m)} \\&= \frac{mN + n(N + 1)}{(N + M + 1)(n + m)}\end{aligned}$