设电路由A,B,C三个元件组成，若元件A,B,C发生故障的概率分别是0.3,0.2,0.2，且各元件独立工作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率：（1）A,B,C三个元件串联（2）A,B,C三个元件并联（3）元件A与两个并联的元件B及C串联

考查要点：本题主要考查独立事件的概率计算，以及不同电路连接方式（串联、并联、混合连接）对应的故障概率分析。

解题核心思路：

1. 串联电路：电路故障当且仅当至少有一个元件故障。等价于所有元件正常工作的概率的补集。
2. 并联电路：电路故障当且仅当所有元件同时故障，直接相乘各元件故障概率。
3. 混合连接：分解为串联和并联的组合，先计算并联部分的正常工作概率，再结合串联部分计算整体故障概率。

破题关键点：

• 独立事件性质：各元件故障相互独立，概率可直接相乘。
• 电路逻辑转换：串联对应“至少一个故障”，并联对应“全部故障”，混合连接需分步分析。

第（1）题：串联电路

电路故障条件

串联电路中，只要有一个元件故障，整个电路就故障。因此，电路正常工作的概率为各元件正常概率的乘积：
$P(\text{正常}) = P(A\text{正常}) \cdot P(B\text{正常}) \cdot P(C\text{正常}) = 0.7 \cdot 0.8 \cdot 0.8 = 0.448$

计算电路故障概率

$P(\text{故障}) = 1 - P(\text{正常}) = 1 - 0.448 = 0.552$

第（2）题：并联电路

电路故障条件

并联电路中，所有元件必须同时故障，因此：
$P(\text{故障}) = P(A\text{故障}) \cdot P(B\text{故障}) \cdot P(C\text{故障}) = 0.3 \cdot 0.2 \cdot 0.2 = 0.012$

第（3）题：混合连接（A与B、C并联串联）

分解电路结构

电路由A与(B并联C)串联组成，需分两步计算：

1. B与C并联部分的故障概率：
   $P(B\text{和}C\text{同时故障}) = P(B\text{故障}) \cdot P(C\text{故障}) = 0.2 \cdot 0.2 = 0.04$
2. 整体电路故障条件：
   • A故障，或
   • A正常但B和C同时故障：
     $P(\text{故障}) = P(A\text{故障}) + P(A\text{正常}) \cdot P(B\text{和}C\text{同时故障}) = 0.3 + 0.7 \cdot 0.04 = 0.328$