点(2,3,1)在直线x=t-7,y=2t-2,z=3t-2上的投影为()A. (-5,2,4)B. (-6,0,1)C. (-7,-2,-2)D. (-8,-4,-5)

本题考查点在直线上的投影的求法，解题的关键思路是先求出过该点且垂直于已知直线的平面方程，再联立直线方程与平面方程求出交点，该交点即为点在直线上的投影。

1. 求直线的方向向量：
   已知直线方程为$x=t - 7$，$y = 2t - 2$，$z = 3t - 2$，其参数方程的一般形式为$\begin{cases}x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{cases}$（$t$为参数），其中$(m,n,p)$为直线的方向向量。
   所以该直线的方向向量$\vec{s}=(1,2,3)$。
2. 求过点$(2,3,1)$且垂直于直线的平面方程：
   因为所求平面垂直于已知直线，所以直线的方向向量$\vec{s}=(1,2,3)$就是平面的法向量。
   根据点法式方程$A(x - x_0)+B(y - y_0)+C(z - z_0)=0$（其中$(A,B,C)$为平面的法向量，$(x_0,y_0,z_0)$为平面上一点），可得过点$(2,3,1)$且法向量为$\vec{s}=(1,2,3)$的平面方程为：
   $1\times(x - 2)+2\times(y - 3)+3\times(z - 1)=0$
   展开式子得$x - 2 + 2y - 6 + 3z - 3 = 0$，
   整理得$x + 2y + 3z - 11 = 0$。
3. 求直线与平面的交点：
   将直线方程$\begin{cases}x=t - 7\\y = 2t - 2\\z = 3t - 2\end{cases}$代入平面方程$x + 2y + 3z - 11 = 0$中，得到：
   $(t - 7)+2\times(2t - 2)+3\times(3t - 2)-11 = 0$
   展开括号得$t - 7 + 4t - 4 + 9t - 6 - 11 = 0$，
   合并同类项得$(1 + 4 + 9)t+(-7 - 4 - 6 - 11)=0$，即$14t - 28 = 0$。
   移项可得$14t = 28$，
   两边同时除以$14$，解得$t = 2$。
4. 求投影点的坐标：
   将$t = 2$代入直线方程$\begin{cases}x=t - 7\\y = 2t - 2\\z = 3t - 2\end{cases}$中，可得：
   $x=2 - 7=-5$，
   $y=2\times2 - 2 = 2$，
   $z=3\times2 - 2 = 4$。
   所以点$(2,3,1)$在直线上的投影为$(-5,2,4)$。