设函数 f(x,y) 在 D: x^2 + y^2 leq a^2 上连续，则 iint_(D) f(x,y), dx , dy=（） A. 4 int_(0)^a dx int_(0)^sqrt(a^2-x^2) f(x,y), dyB. int_(-a)^a dx int_(0)^sqrt(a^2-x^2) f(x,y), dyC. 4 int_(0)^2pi dx int_(0)^a f(r sin theta, r cos theta), drD. 4 int_(0)^2pi dx int_(0)^a f(r sin theta, r cos theta), dr

为了求解二重积分 $\iint\limits_{D} f(x, y) \, dx \, dy$，其中 $D: x^2 + y^2 \leq a^2$，即 $D$ 是一个半径为 $a$ 的圆盘，我们可以使用极坐标系来简化计算。在极坐标系中，变量 $x$ 和 $y$ 可以表示为 $x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$，其中 $r$ 是径向距离，$\theta$ 是角度。 Jacobian 行列式 $J$ 为 $r$，因此 $dx \, dy = r \, dr \, d\theta$。 积分区域 $D$ 在极坐标系中表示为 $0 \leq r \leq a$ 和 $0 \leq \theta \leq 2\pi$。因此，二重积分可以写为： \[ \iint\limits_{D} f(x, y) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \, r \, dr \, d\theta. \] 由于函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，且 $D$ 是一个对称的圆盘，我们可以将积分区域分成四个相同的象限，每个象限的积分是整个积分的四分之一。在每个象限中，$\theta$ 的范围是 $[0, \frac{\pi}{2}]$。因此，我们有： \[ \iint\limits_{D} f(x, y) \, dx \, dy = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{a} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \, r \, dr \, d\theta. \] 但是，选项中没有 $r$ 的因子，所以需要仔细检查选项。选项中没有 $r$ 的因子，所以需要仔细检查选项。选项中没有 $r$ 的因子，所以需要仔细检查选项。 选项 A: $4 \int_{0}^{a} \, dx \int_{0}^{\sqrt{a^2 - x^2}} f(x, y) \, dy$。这个选项是正确的，因为 $D$ 是一个圆盘，可以分成四个相同的象限，每个象限中 $x$ 的范围是 $[0, a]$， $y$ 的范围是 $[0, \sqrt{a^2 - x^2}]$。 选项 B: $4 \int_{-a}^{a} \, dx \int_{b}^{\sqrt{a^2 - x^2}} f(x, y) \, dy$。这个选项是错误的，因为 $b$ 没有定义，且 $x$ 的范围是 $[-a, a]$ 时， $y$ 的范围是 $[0, \sqrt{a^2 - x^2}]$。 选项 C: $4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, dx \int_{0}^{a} f(r \sin \theta, r \cos \theta) \, dr$。这个选项是错误的，因为 $dx$ 和 $dr$ 的顺序错误，且没有 $r$ 的因子。 选项 D: $4 \int_{0}^{2\pi} \, dx \int_{0}^{a} f(r \sin \theta, r \cos \theta) \, dr$。这个选项是错误的，因为 $dx$ 和 $dr$ 的顺序错误，且没有 $r$ 的因子。 因此，正确答案是 $\boxed{A}$。