题目
设二维随机变量(X,Y)在抛物线 =(x)^2 与直线 y=x+2 所围成的区域R上服从均-|||-匀分布.(1)求(X,Y )的联合概率密度.(2)求概率 (X+Ygeqslant 2).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定区域R的边界
抛物线 $y=x^2$ 与直线 $y=x+2$ 的交点可以通过解方程 $x^2 = x + 2$ 得到。解这个方程，我们得到 $x^2 - x - 2 = 0$，即 $(x-2)(x+1) = 0$。因此，交点为 $x = 2$ 和 $x = -1$。对应的 $y$ 值分别为 $y = 4$ 和 $y = 1$。所以，区域R的边界是 $x = -1$ 到 $x = 2$，$y = x^2$ 到 $y = x + 2$。
步骤 2：计算区域R的面积
区域R的面积可以通过积分计算得到。面积 $A$ 可以表示为：
$$
A = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx
$$
计算这个积分，我们得到：
$$
A = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} = \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) = 2 + 4 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} = 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2} = 8 - 3 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}
$$
因此，区域R的面积为 $\frac{9}{2}$。
步骤 3：求联合概率密度
由于(X,Y)在区域R上服从均匀分布，联合概率密度 $f(x,y)$ 为区域R面积的倒数，即：
$$
f(x,y) = \frac{2}{9}, \quad -1 < x < 2 \text{ 且 } x^2 < y < x + 2
$$
对于其他区域，$f(x,y) = 0$。
步骤 4：计算概率 $P(X+Y\geqslant 2)$
概率 $P(X+Y\geqslant 2)$ 可以通过积分联合概率密度 $f(x,y)$ 在满足 $x + y \geqslant 2$ 的区域上计算得到。这个区域是 $x + y = 2$ 与 $y = x^2$ 和 $y = x + 2$ 的交点所围成的区域。交点为 $x = 0$ 和 $x = 1$。因此，积分区域为 $x = 0$ 到 $x = 1$，$y = x^2$ 到 $y = 2 - x$。概率 $P(X+Y\geqslant 2)$ 可以表示为：
$$
P(X+Y\geqslant 2) = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{2-x} \frac{2}{9} dy dx
$$
计算这个积分，我们得到：
$$
P(X+Y\geqslant 2) = \frac{2}{9} \int_{0}^{1} (2 - x - x^2) dx = \frac{2}{9} \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{9} \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{9} \left( \frac{12}{6} - \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \right) = \frac{2}{9} \cdot \frac{7}{6} = \frac{14}{54} = \frac{7}{27}
$$
因此，概率 $P(X+Y\geqslant 2)$ 为 $\frac{7}{27}$。
抛物线 $y=x^2$ 与直线 $y=x+2$ 的交点可以通过解方程 $x^2 = x + 2$ 得到。解这个方程，我们得到 $x^2 - x - 2 = 0$，即 $(x-2)(x+1) = 0$。因此，交点为 $x = 2$ 和 $x = -1$。对应的 $y$ 值分别为 $y = 4$ 和 $y = 1$。所以，区域R的边界是 $x = -1$ 到 $x = 2$，$y = x^2$ 到 $y = x + 2$。
步骤 2：计算区域R的面积
区域R的面积可以通过积分计算得到。面积 $A$ 可以表示为：
$$
A = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx
$$
计算这个积分，我们得到：
$$
A = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} = \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) = 2 + 4 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} = 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2} = 8 - 3 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}
$$
因此，区域R的面积为 $\frac{9}{2}$。
步骤 3：求联合概率密度
由于(X,Y)在区域R上服从均匀分布，联合概率密度 $f(x,y)$ 为区域R面积的倒数，即：
$$
f(x,y) = \frac{2}{9}, \quad -1 < x < 2 \text{ 且 } x^2 < y < x + 2
$$
对于其他区域，$f(x,y) = 0$。
步骤 4：计算概率 $P(X+Y\geqslant 2)$
概率 $P(X+Y\geqslant 2)$ 可以通过积分联合概率密度 $f(x,y)$ 在满足 $x + y \geqslant 2$ 的区域上计算得到。这个区域是 $x + y = 2$ 与 $y = x^2$ 和 $y = x + 2$ 的交点所围成的区域。交点为 $x = 0$ 和 $x = 1$。因此，积分区域为 $x = 0$ 到 $x = 1$，$y = x^2$ 到 $y = 2 - x$。概率 $P(X+Y\geqslant 2)$ 可以表示为：
$$
P(X+Y\geqslant 2) = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{2-x} \frac{2}{9} dy dx
$$
计算这个积分，我们得到：
$$
P(X+Y\geqslant 2) = \frac{2}{9} \int_{0}^{1} (2 - x - x^2) dx = \frac{2}{9} \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{9} \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{9} \left( \frac{12}{6} - \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \right) = \frac{2}{9} \cdot \frac{7}{6} = \frac{14}{54} = \frac{7}{27}
$$
因此，概率 $P(X+Y\geqslant 2)$ 为 $\frac{7}{27}$。