求极限 lim_(x to 0) (e^x sin x - x(x+1))/(sin^3 x).

我们来求解这个极限问题：

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x - x(x+1)}{\sin^3 x}$

第一步：分析极限形式

当 $x \to 0$ 时：

• $\sin x \to 0$
• $\sin^3 x \to 0$
• $e^x \to 1$
• $\sin x \to 0$，所以 $e^x \sin x \to 0$
• $x(x+1) \to 0$

因此分子和分母都趋于 0，这是一个 0/0 型未定式，可以使用 洛必达法则 或 泰勒展开 来求解。

第二步：使用泰勒展开

我们对分子和分母分别进行泰勒展开（在 $x=0$ 处展开）。

1. 分母：$\sin^3 x$

先写出 $\sin x$ 的泰勒展开：

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

所以：

$\sin^3 x = \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)^3 = x^3 + o(x^3)$

（更高阶项不影响极限）

2. 分子：$e^x \sin x - x(x+1)$

先分别展开 $e^x$ 和 $\sin x$：

• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
• $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

所以：

$e^x \sin x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)\left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)$

我们只保留到 $x^3$ 项：

$e^x \sin x = x + x^2 + \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + o(x^3) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

另一方面：

$x(x+1) = x^2 + x$

所以分子为：

$e^x \sin x - x(x+1) = \left(x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right) - (x + x^2) = \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

第三步：代入极限表达式

我们有：

• 分子：$\frac{x^3}{3} + o(x^3)$
• 分母：$x^3 + o(x^3)$

所以：

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x - x(x+1)}{\sin^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^3 + o(x^3)} = \frac{1}{3}$

✅ 最终答案：

$\boxed{\frac{1}{3}}$