一条圆形跑道长 500 米,甲、乙两人从不同起点同时出发,均沿顺时针方向匀速跑步。已知甲跑了 600米后第一次追上乙,此后甲加速 20%继续前进,又跑了 1200 米后第二次追上乙。问甲出发后多少米第一次到达乙的出发点?A. 180B. 150C. 120D. 100

关键思路：本题考察环形跑道上的追及问题，需结合相对速度与路程关系。核心点在于确定甲、乙的速度比及初始间距，进而求解甲到达乙出发点所需路程。

1. 第一次追及：甲跑600米追上乙，说明甲比乙多跑初始间距$s$。
2. 第二次追及：甲加速后跑1200米再次追上乙，此时甲比乙多跑一圈（500米）。
3. 速度关系：通过两次追及条件，建立方程求解速度比和初始间距$s$，最终$s$即为甲到达乙出发点的路程。

第一次追及分析

• 设甲速为$v_甲$，乙速为$v_乙$，初始间距为$s$。
• 甲跑600米时，乙跑$x$米，满足：
  $600 - x = s \quad \text{（甲比乙多跑初始间距$s$）}$
• 时间相同：$\frac{600}{v_甲} = \frac{x}{v_乙}$，得$x = \frac{v_乙}{v_甲} \cdot 600$。

第二次追及分析

• 甲加速后速度为$1.2v_甲$，跑1200米用时：
  $t = \frac{1200}{1.2v_甲} = \frac{1000}{v_甲}$
• 乙在$t$时间内跑：
  $s_乙 = v_乙 \cdot t = v_乙 \cdot \frac{1000}{v_甲} = \frac{1000v_乙}{v_甲}$
• 此时甲比乙多跑一圈：
  $1200 - \frac{1000v_乙}{v_甲} = 500$

联立方程求解

1. 从第一次追及得：
   $s = 600 - \frac{600v_乙}{v_甲}$
2. 从第二次追及得：
   $\frac{1000v_乙}{v_甲} = 700 \quad \Rightarrow \quad \frac{v_乙}{v_甲} = 0.7$
3. 代入$s$的表达式：
   $s = 600 - 600 \cdot 0.7 = 180$

结论：甲出发后需跑180米首次到达乙的出发点。