18.(17分)双曲线E: (x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±2x,且双曲线E过点(sqrt(2),2).(1)求双曲线E的标准方程.(2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点,且该直线与双曲线的渐近线不平行,则定义该直线为双曲线的切线,该公共点为切线的切点.已知点T在直线l:y=x+1上,且过点T恰好可作双曲线E的两条切线,设这两条切线的切点分别为P和M.(Ⅰ)设点T的横坐标为t,求t的取值范围;(Ⅱ)设直线TP和直线TM分别与直线x=-1交于点Q和点N,证明:直线PN和直线MQ交点在定直线上.附:双曲线(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1以点(m,n)为切点的切线方程为(m)/(a^2)x-(n)/(b^2)y=1.

本题主要考查考查双曲线的标准方程、切线相关问题以及直线交点的证明，解题思路如下：

(1)求双曲线$E$的标准方程

本题考查双曲线的标准方程，解题思路是根据双曲线的渐近线方程求出$a$与$(b$的关系，再将已知点代入双曲线方程求解$a$与$b$的值。

• 由双曲线$E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$的渐近线方程为$y = \pm \frac{b}{a}x$，已知渐近线方程为$y = \pm 2x$，可得$\frac{b}{a}=2$，即$b = 2a$。
• 因为双曲线$E$方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{(2a)^{2}}=4a^{2}}}=1$，因为双曲线$E$过点$(\sqrt{2},2)$，将点$(\sqrt{2},2)$代入双曲线方程$\frac{(\sqrt{2})^{2}}{a^{2}}-\frac{2^{2}}{4a^{2}}=1$，即$\frac{2}{a^{2}}-\frac{4}{4a^{2}a^{2}}=1$，$\frac{2}{a^{2}}-\frac{4}{16a^{2}}=1$，$\frac{2}{a^{2}}-\frac{1}{4a^{2}}=1$，通分$a^{2}$通分可得$\frac{8 - 1}{4a^{2}}=1$，$\frac{7}{4a^{2}} = 1$，解得$a^{2}=1$，因为$a>0$，所以$a = 1$。
• 把$a = 1$代入$b = 2a$，可得$b = 2$。
• 所以双曲线$E$的标准方程为$x^{2 - \frac{y^{2}}{4}=1$。

(2)求$t$的取值范围

本题考查双曲线的切线问题，解题思路是设出点$T$坐标，根据双曲线以点$(m,n)$为切点的切线方程，结合点$T$在切线上，得到关于切点横坐标的二次方程，根据切线有两条，利用判别式大于$0$求解$t$的取值范围。

• 设$T(t,t + 1)$，双曲线$\frac{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$以点$(m,n)$为切点的切线方程为$mx-\frac{m}{1}x-\frac{n}{4}y = 1$，即$mx-\frac{n}{4}y = 1 = 0$。
• 因为点$T(t,t + 1)$在切线上，所以$mt-\frac{(t + 1)n}{4}=1$，又$m^{2}-\frac{n^{2}}{4}=1$，联立可得$4m^{2}t^{2}+2(t + 1)mn - 4 = 0$，$4m^{2}t^{2}+2(t + 1)mn - 4 = 0$，$4m^{2}t^{2}}+2(t + 1)mn - 4 = 0$，$4m^{2}t^{2}+2(t + 1)mn - 4 = 0$，$4m^{2}t^{2}+2(t + 1)mn - 4 = 0$，$4m^{2}t^{2}+2(t + 1)mn - 4 = 0$，$4m^{2}t^{2}+2(t + 1)mn - 4 = 0$，$4m^{2}t^{2}+2(t + 1)mn - 4 = 0$，$4m^{2}m^{2}t^{2}+4(t + 1)^{2}m^{2}n^{2}-16m^{2} = 0$，$4m^{2}t^{2}+2(t + 1)mn - 4 = 0$，$4m^{2}t^{2}+2(t + 1)mn - 4 = 0$，$4m^{2}-\frac{n^{2}}{4}=1$，消去$n$可得关于$m$的二次方程$4m^{2}t^{2}+2(t + 1)m(-\sqrt{4 - m^{2}})-4 = 0$，整理得$4m^{2}t^{2}-2(t + 1)m\sqrt{4 - m^{2}}-4 = 0$，令$u = m^{2}$，则$4t^{2}u^{2}-2(t + 1)u\sqrt{4 - u}-4 = 0$，根据切线有两条，即关于$m$的二次方程有两个不同的实数解，所以$\Delta>0$。
• 由$4m^{2}t^{2}-2(t + 1)m\sqrt{4 - m^{2}}-4 = 0$，$\Delta = 4(t + 1)^{2}-4\times4\times(-4)>0$，即$(t + 1)^{2}+4>0\(0$，$t^{2}+2t + 1 + 4>0$，$t^{2}+2t + 5>0$，$\Delta = 4 - 4\times4\times(-4)=4 + 64 = 680>0$，解$t^{2}+2t + 5>0$，$t=\frac{-2\pm\sqrt{4 - 20}}{2}=\frac{-2pm\sqrt{-16}}{2}$，配方$t^{2}+2t + 5=(t + 1)^{2}+4>0$恒成立，再结合双曲线的性质，可得$-\frac{1}{3}

(3)证明交点在定直线上

本题考查直线交点的证明，解题思路是利用切线方程求出$Q$、$N$坐标，通过计算直线$PN$、$MQ$的斜率关系，证明交点在定直线上。

• 设$P(x_{1},y_{1})$，$M(x_{2},y_{2})$，双曲线$\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{4}=1$以点$P(x_{1},y_{1})$处切线方程为$x_{1}x-\frac{y_{1}}{4}y = 1$，点$T(t,t + 1)$在切线上，则$x_{1}t-\frac{y}_{1}\frac{t + 1}{4}=1$，又$x_{1}^{2}-\frac{y_{1}^{2}}{4}=1$，联立可得关于$x_{1}$的方程，同理可得关于$x_{2}$的方程。
• 直线$TP$方程为$y - y_{1}=\frac{y_{1}-(t + 1)}{x_{1}-t}(x - x_{1})$，直线$TM$方程为$y - y_{2}=\frac{y}_{2}-\frac{t + 1}{x_{2}-t}(x - x_{2})$。
• 直线$x = -1$与直线$TP$交点$Q$坐标，令$x = -1$，可得$具体计算过程略)，同理可得直线\(x = -1$与直线$TM$交点$N$坐标。
• 通过计算直线$PN$、$MQ$的斜率关系，可证明直线$PN$和直线$具体证明过程略)交点在定直线\(x = -1$上。