设有点 A(1,2,1),B(1,-2,-1)线段 AB 的垂直平分面方程是

步骤 1：计算线段 AB 的中点
线段 AB 的中点 M 的坐标可以通过计算 A 和 B 的坐标平均值得到。设 A(1,2,1) 和 B(1,-2,-1)，则中点 M 的坐标为：
\[ M = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{2-2}{2}, \frac{1-1}{2} \right) = (1, 0, 0) \]

步骤 2：计算线段 AB 的方向向量
线段 AB 的方向向量 \(\vec{AB}\) 可以通过 B 的坐标减去 A 的坐标得到。设 A(1,2,1) 和 B(1,-2,-1)，则方向向量 \(\vec{AB}\) 为：
\[ \vec{AB} = (1-1, -2-2, -1-1) = (0, -4, -2) \]

步骤 3：确定垂直平分面的法向量
垂直平分面的法向量与线段 AB 的方向向量相同，即 \(\vec{n} = (0, -4, -2)\)。为了简化，我们可以取法向量为 \(\vec{n} = (0, 2, 1)\)。

步骤 4：写出垂直平分面的方程
垂直平分面的方程可以通过法向量和中点 M 来确定。设法向量为 \(\vec{n} = (0, 2, 1)\)，中点 M 的坐标为 (1, 0, 0)，则垂直平分面的方程为：
\[ 0(x-1) + 2(y-0) + 1(z-0) = 0 \]
简化后得到：
\[ 2y + z = 0 \]