1. lim_(n to infty ) ( frac ( 4 ) ( pi ) arctan frac ( n ) ( n + 1 ) ) ^ ( n ) = ( ) . (A.) e ^ ( - frac { 2 ) ( pi ) } (B.) e ^ ( - frac { pi ) ( 2 ) } (C.) frac ( pi ) ( 2 ) (D.) frac ( 2 ) ( pi )

为了求解极限 $\lim_{n \to \infty } \left( \frac { 4 } { \pi } \arctan \frac { n } { n + 1 } \right) ^ { n }$，我们首先需要分析表达式 inside $\left( \frac { 4 } { \pi } \arctan \frac { n } { n + 1 } \right)$ 的行为当 $n$ 趋于无穷大时。 1. **计算 $\arctan \frac{n}{n+1}$ 的极限:** 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{n}{n+1} \to 1$。因此，$\arctan \frac{n}{n+1} \to \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$。 2. **将 $\arctan \frac{n}{n+1}$ 近似为 $\frac{\pi}{4}$ 附近的小量:** 设 $x = \frac{n}{n+1}$。则 $x \to 1$ 当 $n \to \infty$。我们可以将 $\arctan x$ 在 $x = 1$ 处进行泰勒展开: \[ \arctan x = \arctan 1 + \arctan'(1)(x - 1) + o(x - 1) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(x - 1) + o(x - 1). \] 因为 $x = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$，所以 $x - 1 = -\frac{1}{n+1}$。代入泰勒展开式，我们得到: \[ \arctan \frac{n}{n+1} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2(n+1)} + o\left(\frac{1}{n+1}\right). \] 3. **将 $\arctan \frac{n}{n+1}$ 代入原表达式:** \[ \frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1} = \frac{4}{\pi} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2(n+1)} + o\left(\frac{1}{n+1}\right) \right) = 1 - \frac{2}{\pi(n+1)} + o\left(\frac{1}{n+1}\right). \] 4. **求极限:** 现在我们需要求 $\left( 1 - \frac{2}{\pi(n+1)} + o\left(\frac{1}{n+1}\right) \right)^n$ 的极限。当 $n \to \infty$ 时， $o\left(\frac{1}{n+1}\right)$ 是比 $\frac{1}{n+1}$ 高阶的无穷小，可以忽略。因此，我们有: \[ \left( 1 - \frac{2}{\pi(n+1)} \right)^n. \] 我们知道 $\left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n \to e^x$ 当 $n \to \infty$。为了使用这个极限，我们可以将指数 $n$ 改为 $n+1$: \[ \left( 1 - \frac{2}{\pi(n+1)} \right)^n = \left( 1 - \frac{2}{\pi(n+1)} \right)^{n+1} \cdot \left( 1 - \frac{2}{\pi(n+1)} \right)^{-1}. \] 当 $n \to \infty$ 时，$\left( 1 - \frac{2}{\pi(n+1)} \right)^{n+1} \to e^{-\frac{2}{\pi}}$，而 $\left( 1 - \frac{2}{\pi(n+1)} \right)^{-1} \to 1$。因此: \[ \left( 1 - \frac{2}{\pi(n+1)} \right)^n \to e^{-\frac{2}{\pi}}. \] 所以，极限 $\lim_{n \to \infty } \left( \frac { 4 } { \pi } \arctan \frac { n } { n + 1 } \right) ^ { n } = e ^ { - \frac { 2 } { \pi } }$。 答案是 $\boxed{A}$。