题目

当x→0时,下列函数与x是等价无穷小-|||-的是(2分)-|||-A. https:/img.zuoyebang.cc/zyb_d1eaac6d56ca00bc0b44977abeb8a4b6.jpg-cos x-|||-B. ^x-1-|||-C. ln (1+x)-|||-D.arctanx

$\begin{aligned}&当x\to0时，下列函数与 x 是等价无穷小\\ &的是(2分)\\ &A.1-\cos x\\ &B.e^{x}-1\\ &C.\ln(1+x)\\ &D.arctan x \\&\end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned}&以下依次分析每个选项：\\ &A 选项：\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \times \frac{x}{2} = 0，\\&所以 1 - \cos x 不是 x 的等价无穷小。\\ &B 选项：\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{x}，令 e^x - 1 = t，则 x = \ln(1 + t)，当 x \to 0 时，t \to 0。\\&原式变为\lim_{t\to 0}\frac{t}{\ln(1 + t)} = 1，所以 e^x - 1 是 x 的等价无穷小。\\ &C 选项：\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1，所以 \ln(1 + x) 是 x 的等价无穷小。\\ &D 选项：\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x} = 1，所以 \arctan x 是 x 的等价无穷小。\\ &综上，B、C、D 选项中的函数与 x 是等价无穷小。 \\&\end{aligned}$