题目

设A为 times n 阶矩阵,B为 times s 矩阵,已知方程 AX=0 有解,则必有 ((A)_(2))geqslant n(B) ()-|||-A 正确-|||-B 错误

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组解的性质及矩阵秩的概念，需理解方程组解的存在性与系数矩阵秩的关系。

关键思路：

  1. 齐次方程组解的性质：方程组 $AX=0$ 总有零解，当且仅当系数矩阵 $A$ 的秩 $r(A) = n$（$A$ 为 $m \times n$ 矩阵）时，方程组仅有零解；若 $r(A) < n$，则存在非零解。
  2. 题目条件分析：题目中“$AX=0$ 有解”实际隐含存在非零解，因此可推得 $r(A) < n$。
  3. 结论矛盾点：题目结论 $n(A_2) \geq n(B)$ 中，$n(A_2)$ 可能指 $A$ 的秩或列数，但题目未提供 $B$ 的任何信息，无法建立 $A$ 与 $B$ 的秩或列数关系，因此结论不成立。

题目条件与推导：

  1. 方程组解的性质：
    齐次方程组 $AX=0$ 的解空间维度为 $n - r(A)$。若方程组有非零解，则 $r(A) < n$。
  2. 题目结论分析：
    题目断言 $n(A_2) \geq n(B)$，但：
    • 若 $n(A_2)$ 指 $A$ 的秩 $r(A)$，则 $r(A) < n$，而 $n(B)$ 可能指 $B$ 的秩 $r(B)$ 或列数 $s$，但题目未关联 $A$ 与 $B$ 的关系。
    • 若 $n(A_2)$ 指 $A$ 的列数 $n$，则结论 $n \geq s$ 无依据（$B$ 的列数 $s$ 未知）。
  3. 结论错误性：
    题目未提供 $A$ 与 $B$ 的任何关联条件，无法推导出 $n(A_2) \geq n(B)$，因此原命题错误。