18.(本小题满分12分)记 Delta ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知-|||-dfrac (cos A)(1+sin A)=dfrac (sin 2B)(1+cos 2B)-|||-(1)若 =dfrac (2pi )(3), 求B;-|||-(2)求 dfrac ({a)^2+(b)^2}({c)^2} 的最小值.

考查要点：本题综合考查三角恒等变换、三角形内角关系及最值问题。
解题思路：

1. 第一问：利用三角恒等式化简已知等式，结合三角形内角和为$\pi$，建立角$A$与$B$的关系，最终求解角$B$。
2. 第二问：通过正弦定理将边转化为角的正弦，结合已知条件建立关于单一变量的函数，利用导数求最小值。

破题关键：

• 第一问的关键在于将等式两边化简为同一三角函数形式，利用角度关系联立方程。
• 第二问需将边的关系转化为角的函数，通过变量代换和求导找到最小值。

第（1）题

化简已知等式

已知$\dfrac{\cos A}{1+\sin A} = \dfrac{\sin 2B}{1+\cos 2B}$，利用三角恒等式：

• 分母$1+\cos 2B = 2\cos^2 B$
• 分子$\sin 2B = 2\sin B \cos B$
  化简右边得：
  $\dfrac{\sin 2B}{1+\cos 2B} = \dfrac{2\sin B \cos B}{2\cos^2 B} = \tan B$

联立角度关系

左边$\dfrac{\cos A}{1+\sin A}$可进一步化简为$\tan\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{A}{2}\right)$，因此等式变为：
$\tan\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{A}{2}\right) = \tan B$
结合角度范围，得：
$\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{A}{2} = B$
又因$A + B + C = \pi$且$C = \dfrac{2\pi}{3}$，故$A + B = \dfrac{\pi}{3}$。联立解得：
$B = \dfrac{\pi}{6}$

第（2）题

边角转化

由正弦定理，$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$，得：
$\dfrac{a^2 + b^2}{c^2} = \dfrac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 C}$

角度关系代入

由第一问得$B = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{A}{2}$，故$C = \pi - A - B = \dfrac{\pi}{2} + B$。进一步化简得：
$\sin A = \cos 2B, \quad \sin C = \cos B$
代入表达式：
$\dfrac{\cos^2 2B + \sin^2 B}{\cos^2 B} = 4\cos^2 B - 5 + \dfrac{2}{\cos^2 B}$

求最小值

令$x = \cos^2 B$，则函数为$f(x) = 4x - 5 + \dfrac{2}{x}$。求导得极值点$x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，代入得最小值：
$f\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 4\sqrt{2} - 5$