题目

3.设L是一条平面曲线,其上任意一点 (x,y)(xgt 0) 到坐标原点的距离恒等于该点处-|||-的切线在y轴上的截距,且L经过点 (dfrac (1)(2),0)-|||-(1)试求曲线L的方程;-|||-(2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积-|||-最小. __

题目解答

答案

解析

一、题目考察知识与解题思路

本题包含两问，主要考察微分方程在几何中的应用及导数的最值问题，具体如下：

（1）求曲线$L$的方程

核心知识：曲线切线方程、微分方程建立与求解。
解题思路：

  1. 写出切线方程：设曲线$L:y=y(x)$，点$P(x,y)$处的切线斜率为$y'$，切线方程为$Y - y = y'(X - x)$（$X,Y$为切线动点坐标）。
  2. 求$y$轴截距：令$X=0$，得截距$b = y - xy'$。
  3. 转化条件：题目“点到原点距离等于切线$y$轴截距”，即$\sqrt{x^2+y^2}=b$，代入$b$得微分方程：
    $\sqrt{x^2+y^2} = y - xy' \quad (x>0)$
  4. 求解微分方程：
    • 改写为$\frac{dy}{dx} = \frac{y - \sqrtsqrt{x^2+y^2}}{x}$，令$y=xu$（齐次方程），则$y'=u+x\frac{du}{dx}$，代入化简得：
      $x\frac{du}{dx} = -\sqrt{1+u^2} \implies \frac{du}{\sqrt{1+u^2} = -\frac{dx}{x}$
    • 积分得$\ln(u+\sqrt{1++u^2}) = -\ln x + C$，即$u+\sqrt{1+u^2} = \frac{C}{x}$（$C=e^C$）。
    • 代入$u=\frac{y}{x}$，整理得$y + \sqrt{x^2+y^2} = \frac{C}{2}$（化简后）。
  5. 代入初始条件：$L$过$(\frac{1}{2},0)$，代入得$C=\frac{1}{2}$，最终曲线方程为：
    $y = \frac{1}{4} - x^2 (x>0)$

（2）求面积最小的切线方程

核心知识：切线方程、定积分求面积、导数求最值。
解题思路：

  1. 设切点与切线方程：设第一象限切点\\(($t,\frac{1}{4}-t^2$)（$0'=-2x$，切线斜率$k=-2t$，切线方程为：
    $Y - (\frac{1}{4}-t^2) = -2t(X - t) \implies Y = -2tX + (\frac{1}{4} + t^2)$
  2. 求切线与坐标轴交点：
    • $x轴截距：令\(Y=0$，得$X=\frac{1 + 4t^2}{8t}$（记为$a$）；
      -y轴截距：令$X=0$，得$Y=\frac{1 + 4t^2}{4}$（记为$b$）。
  3. 计算围图形面积面积$S(t)$：
    • 切线与两坐标轴围成三角形面积$\frac{1}{2}ab$，减去曲线$L$与两坐标轴围成面积$\int_0^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{4}-x^2)dx$（常数），故$S(t)$等价于$\frac{1}{2}ab$的最小值：
      $S(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 4t^2}{8t} \cdot \frac{1 + 4t^2}{4} = \frac{(1 + 4t^2)^2}{32}$
  4. 求$S(t)$最小值：
    • 对$S(t)$求导：$S'(t) = \frac{4(1 + 4t^2)(8t^2 - 1)}{\}{2t$，令$S'(t)=0$，得$t=\frac{1}{2\sqrt{3}}$（$0
    • 二阶导数$S''(t)>0$，故$t=\frac{1}{2\sqrt{3}}$为最小值点。
  5. 代入得切线方程：
    • 斜率$k=-2t=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，截距$b=\frac{1 + 4(\frac{1}{2\sqrt{3}})^2}{4}=\frac{1}{3}$，故切线方程为：
      $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{1}{3}$