渗氮是在一定温度下一定介质[1]中使氮原子渗入工件表层的化学热处理工艺。通过渗氮可以得到具有良好理化性能的渗氮层，具体表现在高硬度、耐磨性、抗咬合性能和良好疲劳强度等方面。与渗碳工艺相比，渗氮温度较低，渗层也较浅。有一初始氮含量为0.01%的钢板，置于一定的温度和环境下做渗氮处理。假设渗氮时在钢的表面保持氮的平衡浓度为1%。如果在渗氮温度下氮在钢中的扩散系数为1 times 10^-12 , (m)^2/(s)。（1）试求在钢件表面下0.01(cm)处渗氮10(h)后的氮含量。（2）对于同样位置，如果要求渗氮后氮含量高于0.9%，求出所需的最小渗氮时间。

本题主要考察菲克第二定律在非稳态扩散问题中的应用，通过给定的初始条件和边界条件，利用误差函数求解不同时间和位置处的氮含量，以及达到特定氮含量所需的时间。

（1）求在钢件表面下$0.01\text{cm}$处渗氮$10\text{h}$后的氮含量

• 确定已知条件：
  • 初始氮含量$C_0 = 0.01\%=0.0001$；
  • 表面氮的平衡浓度$C_s = 1\% = 0.01$；
  • 扩散系数$D = 1\times10^{-12}\text{ m}^2/\text{s}$；
  • 位置$x = 0.01\text{ cm}=0.0001\text{ m}$；
  • 时间$t = 10\text{ h}=10\times3600\text{ s}=36000\text{ s}$。
• 应用扩散方程：
  对于半无限长物体的非稳态扩散问题，其浓度分布遵循公式$C(x, t) = C_s - (C_s - C_0)\text{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)$。
• 计算$\frac{x}{2\sqrt{Dt}}$的值：
  将已知数据代入可得：
  $\begin{align*} \frac{x}{2\sqrt{Dt}}&=\frac{0.0001}{2\sqrt{1\times10^{-12}\times36000}}\\ &=\frac{0.0001}{2\sqrt{3.6\times10^{-8}}}\\ &=\frac{0.0001}{2\times1.897\times10^{-4}}\\ &\approx0.263 \end{align*}$
  查误差函数表可得$\text{erf}(0.263)\approx0.095$。
• 计算氮含量$C(x, t)$：
  将$\text{erf}(0.263)\approx0.095$代入扩散方程可得：
  $\begin{align*} C(0.0001, 36000)&=0.01-(0.01 - 0.0001)\times0.095\\ &=0.01-0.0099\times0.095\\ &=0.01 - 0.0009405\\ &\approx0.00906 \end{align*}$
  将$0.00906$转化为百分数为$0.906\%$。

（2）求同样位置渗氮后氮含量高于$0.9\%$所需的最小渗氮时间

• 确定已知条件：
  • $C(x, t)=0.9\% = 0.009$；
  • $x = 0.0001\text{ m}$；
  • $D = 1\times10^{-12}\text{ m}^2/\text{s}$；
  • $C_0 = 0.0001$；
  • $C_s = 0.01$。
• 代入扩散方程求解$\text{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)$的值：
  将已知数据代入$C(x, t) = C_s - (C_s - C_0)\text{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)$可得：
  $\begin{align*} 0.009&=0.01-(0.01 - 0.0001)\text{erf}\left(\frac{0.0001}{2\sqrt{Dt}}\right)\\ (0.01 - 0.0001)\text{erf}\left(\frac{0.0001}{2\sqrt{Dt}}\right)&=0.01 - 0.009\\ 0.0099\text{erf}\left(\frac{0.0001}{2\sqrt{Dt}}\right)&=0.001\\ \text{erf}\left(\frac{0.0001}{2\sqrt{Dt}}\right)&=\frac{0.001}{0.0099}\approx0.101 \end{align*}$
• 查误差函数表或使用数值方法求解$\frac{x}{2\sqrt{Dt}}$的值：
  查误差函数表可得，当$\text{erf}(z)=0.101$时，$z\approx0.088$，即$\frac{0.0001}{2\sqrt{Dt}} = 0.088$。
• 求解时间$t$：
  由$\frac{0.0001}{2\sqrt{Dt}} = 0.088$可得：
  $\begin{align*} 2\sqrt{Dt}&=\frac{0.0001}{0.088}\\ \sqrt{Dt}&=\frac{0.0001}{2\times0.088}\\ \sqrt{Dt}&=\frac{0.0001}{0.176}\\ Dt&=(\frac{0.0001}{0.176})^2\\ t&=\frac{(0.0001 / 0.176)^2}{D}\\ &=\frac{(0.000568)^2}{1\times10^{-12}}\\ &=\frac{3.226\times10^{-7}}{1\times10^{-12}}\\ &=3.226\times10^5\text{ s} \end{align*}$
  将$3.226\times10^5\text{ s}$转化为小时：$t=\frac{3.226\times10^5}{3600}\text{ h}\approx89.6\text{ h}\approx90\text{ h}$。