4.下列结论正确的是 ()-|||-(A)n阶矩阵A和B有相同的行列式因子,则它们有相同的最小多项式-|||-(B)特征多项式和最小多项式分别相同的矩阵必相似-|||-(C)两个矩阵若特征值相同,则它们相似-|||-(D)相抵的矩阵必相似

考查要点：本题主要考查矩阵的行列式因子、不变因子、最小多项式以及矩阵相似性的相关理论，需理解各概念之间的逻辑关系。

解题核心思路：

1. 行列式因子与不变因子：行列式因子是矩阵初等变换下的不变量，而不变因子是行列式因子的最大公约数。不变因子的序列唯一决定矩阵的相似标准形。
2. 最小多项式：最小多项式是最后一个不变因子，因此若两矩阵行列式因子相同，则不变因子相同，最小多项式必然相同。
3. 矩阵相似的判定：特征多项式和最小多项式相同并非相似的充分条件；特征值相同也不能保证相似；相抵（等价）矩阵仅说明秩相同，与相似无关。

破题关键点：

• 选项A的关键在于行列式因子相同 $\Rightarrow$ 不变因子相同 $\Rightarrow$ 最小多项式相同。
• 选项B、C、D可通过反例或概念辨析排除。

选项A

行列式因子相同 $\Rightarrow$ 不变因子相同 $\Rightarrow$ 最小多项式相同

1. 行列式因子：矩阵的各阶行列式因子是初等变换下的不变量。
2. 不变因子：第$k$个不变因子是第$k$个行列式因子与前$k-1$个不变因子的最大公约数。
3. 最小多项式：最后一个不变因子即为最小多项式。因此，若行列式因子相同，则不变因子序列相同，最小多项式必然相同。

选项B

特征多项式和最小多项式相同 $\nRightarrow$ 相似
反例：

• 矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$和$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，两者特征多项式均为$(x-1)^2$，最小多项式均为$x-1$，但$A$不可对角化，$B$是对角矩阵，故不相似。

选项C

特征值相同 $\nRightarrow$ 相似
反例：

• 矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$和$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，特征值均为$1$，但$A$不可对角化，$B$可对角化，故不相似。

选项D

相抵（等价） $\nRightarrow$ 相似
反例：

• 矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$和$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，两者相抵（秩均为1），但$A$不是可逆矩阵，$B$是单位矩阵，显然不相似。