题目

已知2 0 0-|||-0 1 3-|||-0 2 5，矩阵2 0 0-|||-0 1 3-|||-0 2 5满足2 0 0-|||-0 1 3-|||-0 2 5，其中2 0 0-|||-0 1 3-|||-0 2 5为2 0 0-|||-0 1 3-|||-0 2 5的伴随矩阵，则2 0 0-|||-0 1 3-|||-0 2 5（）.2 0 0-|||-0 1 3-|||-0 2 52 0 0-|||-0 1 3-|||-0 2 52 0 0-|||-0 1 3-|||-0 2 52 0 0-|||-0 1 3-|||-0 2 5

已知 $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}$ ，矩阵 $X$ 满足 $A^{\ast}X+2A^{-1}=X$ ，其中 $A^{\ast}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $X=$ （）.

$A . X = ( A + 2 E ) ^{ -1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4}& 0 & 0\\ 0 & \frac{7}{15}& -\frac{1}{5}\\ 0 &- \frac{2}{15} &\frac{1}{5} \end{pmatrix}$

$B . X =2 ( A + 2 E ) ^{ -1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}& 0 & 0\\ 0 & \frac{14}{15}& -\frac{2}{5}\\ 0 &- \frac{4}{15} &\frac{2}{5} \end{pmatrix}$

$C . X =A^{-1}+2E= \begin{pmatrix} \frac{5}{2}& 0 & 0\\ 0 & -3&3\\ 0 &2&1 \end{pmatrix}$ $D. X =2A^{-1}+E= \begin{pmatrix} 2& 0 & 0\\ 0 & -9&6\\ 0 &4&-1 \end{pmatrix}$

题目解答

答案

将 $A^{\ast}X+2A^{-1}=X$ 两边同时左乘矩阵 $A$ ，得到： $AA^{\ast}X+2AA^{-1}=AX$

∴ $\left|A\right|EX+2E=AX$

由按行展开的行列式计算公式可知： $|A|=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix}$ $=(-1)^{1+1}\cdot2\cdot\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot0\cdot$ $\begin{vmatrix} 0& 3 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot0\cdot\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$ $=2\cdot\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}+0+0$ $=2\cdot\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}$ $=2\times\left(1\times5-3\times2\right)=-2$

故 $-2EX+2E=AX$

∴ $AX+2EX=2E$

∴ $\left(A+2E\right)X=2E$

由矩阵的数乘运算可知： $2E=\begin{pmatrix} 2\times1&2\times0&2\times0\\ 2\times0&2\times1&2\times0\\ 2\times0&2\times0&2\times1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$

由矩阵的加法运算可知： $A+2E$ $=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}+$ $\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2+2 & 0+0 &0+ 0 \\ 0+0 & 1+2 & 3 +0\\ 0+0 & 2+0 & 5+2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 4 & 0&0 \\ 0& 3 & 3 \\ 0 & 2& 7 \end{pmatrix}$

将 $\left(A+2E\mid E\right)$ 进行如下的行初等变换：

$\left(A+2E\mid E\right)$ $=\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc| ccc} 4 & 0&0&1&0&0 \\ 0& 3 & 3 &0&1&0\\ 0 & 2& 7&0&0&1 \end{array} \end{pmatrix}$ $\overset{\frac{1}{4} i_1}{\rightarrow}$ $\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc| ccc} 1 & 0&0&\frac{1}{4}&0&0 \\ 0& 3 & 3 &0&1&0\\ 0 & 2& 7&0&0&1 \end{array} \end{pmatrix}$ $\overset{\frac{1}{3} i_2}{\rightarrow}$ $\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc| ccc} 1 & 0&0&\frac{1}{4}&0&0 \\ 0& 1& 1 &0&\frac{1}{3}&0\\ 0 &2& 7&0&0&1 \end{array} \end{pmatrix}$ $\overset{-2 i_2+i_3}{\rightarrow}$ $\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc| ccc} 1 & 0&0&\frac{1}{4}&0&0 \\ 0& 1& 1 &0&\frac{1}{3}&0\\ 0 &0& 5&0&-\frac{2}{3}&1 \end{array} \end{pmatrix}$ $\overset{\frac{1}{5}i_3}{\rightarrow}$ $\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc| ccc} 1 & 0&0&\frac{1}{4}&0&0 \\ 0& 1& 1 &0&\frac{1}{3}&0\\ 0 &0&1&0&-\frac{2}{15}&\frac{1}{5} \end{array} \end{pmatrix}$ $\overset{-i_3+i_2}{\rightarrow}$ $\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc| ccc} 1 & 0&0&\frac{1}{4}&0&0 \\ 0& 1& 0 &0&\frac{7}{15}&-\frac{1}{5}\\ 0 &0&1&0&-\frac{2}{15}&\frac{1}{5} \end{array} \end{pmatrix}$ $=\left(E\mid\left(A+2E\right)^{-1}\right)$

故 $(A+2E)^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}&0&0 \\ 0&\frac{7}{15}&-\frac{1}{5}\\ 0&-\frac{2}{15}&\frac{1}{5} \end{pmatrix}$

将 $\left(A+2E\right)X=2E$ 两边同时右乘矩阵 $\left(A+2E\right)^{-1}$ ，得到： $\left(A+2E\right)^{-1}\left(A+2E\right)X=\left(A+2E\right)^{-1}\cdot2E$

∴ $EX=2\left(A+2E\right)^{-1}$

∴ $X=2\left(A+2E\right)^{-1}$

故由矩阵的数乘运算可知： $X=2\left(A+2E\right)^{-1}$ $=\begin{pmatrix} 2\times\frac{1}{4}&2\times0&2\times0 \\ 2\times0&2\times\frac{7}{15}&2\times(-\frac{1}{5})\\ 2\times0&2\times(-\frac{2}{15})&2\times\frac{1}{5} \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}& 0 & 0\\ 0 & \frac{14}{15}& -\frac{2}{5}\\ 0 &- \frac{4}{15} &\frac{2}{5} \end{pmatrix}$

故 $X =2 ( A + 2 E ) ^{ -1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}& 0 & 0\\ 0 & \frac{14}{15}& -\frac{2}{5}\\ 0 &- \frac{4}{15} &\frac{2}{5} \end{pmatrix}$

故答案是： $X =2 ( A + 2 E ) ^{ -1} =$ $\begin{pmatrix} \frac{1}{2}& 0 & 0\\ 0 & \frac{14}{15}& -\frac{2}{5}\\ 0 &- \frac{4}{15} &\frac{2}{5} \end{pmatrix}$ ，选 $B.$

解析

步骤 1：将给定的矩阵方程两边同时左乘矩阵A
将${A}^{*}X+2{A}^{-1}=X$两边同时左乘矩阵A，得到：${AA}^{*}X+2{AA}^{-1}=AX$。
步骤 2：利用伴随矩阵的性质简化方程
由伴随矩阵的性质，我们知道$AA^* = |A|E$，其中$|A|$是矩阵A的行列式，E是单位矩阵。因此，方程变为$|A|EX+2E=AX$。
步骤 3：计算矩阵A的行列式
由按行展开的行列式计算公式可知：$|A|=2\times (1\times 5-3\times 2)=-2$。
步骤 4：代入行列式的值并简化方程
将$|A|=-2$代入方程，得到$-2EX+2E=AX$，即$AX+2EX=2E$。
步骤 5：将方程变形为$(A+2E)X=2E$
将方程变形为$(A+2E)X=2E$。
步骤 6：计算矩阵$(A+2E)$的逆矩阵
将$(A+2E|E)$进行如下的行初等变换：$(A+2E|E)$1 $\dfrac {t}{1}$$\dfrac {1}{3}{z}_{2}$$-2{i}_{2}+{i}_{3}$$\dfrac {1}{5}$:$-\dot {3}3+\dot {2}2$$=(E|{(A+2E)}^{-1})$。
步骤 7：求解矩阵X
将$(A+2E)X=2E$两边同时右乘矩阵${(A+2E)}^{-1}$，得到：${A+2E)}^{-1}(A+2E)X={(A+2E)}^{-1}\cdot 2E$，即$X=2{(A+2E)}^{-1}$。