题目
13.设f(x)具有一阶连续导数，且y=e^f(2sinx)，求y'.
13.设f(x)具有一阶连续导数，且$y=e^{f(2sinx)}$，求y'.
题目解答
答案
设 $ u = f(2\sin x) $，则 $ y = e^u $。应用链式法则：
1. 求 $ \frac{dy}{du} $：
\[
\frac{dy}{du} = e^u = e^{f(2\sin x)}
\]
2. 求 $ \frac{du}{dx} $：
设 $ v = 2\sin x $，则 $ u = f(v) $，
\[
\frac{du}{dx} = f'(v) \cdot \frac{dv}{dx} = f'(2\sin x) \cdot 2\cos x
\]
3. 综合求导：
\[
y' = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^{f(2\sin x)} \cdot f'(2\sin x) \cdot 2\cos x
\]
答案：
\[
\boxed{2e^{f(2\sin x)} f'(2\sin x) \cos x}
\]
解析
本题考查复合函数求导的知识，解题思路是利用链式法则逐步对复合函数进行求导。
本题中函数$y = e^{f(2\sin x)}$是一个复合函数，我们可以通过设中间变量的方法，将其分解为多个简单函数，然后根据链式法则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}$来求解$y'$。
下面进行详细的计算：
- 设$u = f(2\sin x)$，则$y = e^u$。
- 对$y = e^u$关于$u$求导，根据指数函数求导公式$(e^x)^\prime=e^x$，可得$\frac{dy}{du} = e^u$，将$u = f(2\sin x)$代回，得到$\frac{dy}{du} = e^{f(2\sin x)}$。
- 设$v = 2\sin x$，则$u = f(v)$。
- 先对$v = 2\sin x$关于$x$求导，根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$以及常数与函数乘积的求导法则$(cf(x))^\prime = cf^\prime(x)$，可得$\frac{dv}{dx}=(2\sin x)^\prime=2\cos x$。
- 再对$u = f(v)$关于$v$求导，可得$\frac{du}{dv}=f^\prime(v)$，将$v = 2\sin x$代回，得到$\frac{du}{dv}=f^\prime(2\sin x)$。
- 根据链式法则$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}$，可得$\frac{du}{dx}=f^\prime(2\sin x)\cdot 2\cos x$。
- 最后根据链式法则$y' = \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$，将$\frac{dy}{du} = e^{f(2\sin x)}$和$\frac{du}{dx}=f^\prime(2\sin x)\cdot 2\cos x$代入，可得：
$y' = e^{f(2\sin x)} \cdot f^\prime(2\sin x) \cdot 2\cos x$