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数学
题目

有7位科学家参加一个会议,已知A只会讲英语,B会讲英语和汉语,C可以讲英语、意大利语和俄语,D会日语和汉语,E会德语和意大利语,F会讲法语、日语和德语,G可以将德语和汉语。可否安排他们在一个圆桌围坐,使得相邻的科学家都可以使用相同的语言交流。

有7位科学家参加一个会议,已知A只会讲英语,B会讲英语和汉语,C可以讲英语、意大利语和俄语,D会日语和汉语,E会德语和意大利语,F会讲法语、日语和德语,G可以将德语和汉语。可否安排他们在一个圆桌围坐,使得相邻的科学家都可以使用相同的语言交流。

题目解答

答案

∵A只会英语,其余人中只有B和C会英语

∴B和C应该在A的两侧

∵要求是圆桌围坐

∴BAC和CAB两种情况是对称的,只需讨论其中一种,另一中取对称便可

∵因为C还会意大利语和俄语,剩余四人中只有E可以和其交流

∴C的空余一侧是E

∵B会汉语

∴B的空余一侧可以是D或G

当B的空余一侧是D时,G和F如何坐都可以达到要求,

而当B的空余一侧是G时,只能D在G的空余一侧。

综上所述,以A为中心,排列顺序如下:

GDBACEF、FDBACEG、DGBACEF

取对称情况便是FECABDG、GECABDF、FECABGD

用这六种排列方式围坐,都可使相邻的科学家都可以使用相同的语言交流。

解析

考查要点:本题主要考查图论中的环形排列问题,需要根据科学家之间的语言交集构建可行的环形排列。关键在于确定关键节点的位置,并逐步扩展。

解题核心思路:

  1. 确定唯一性条件:A只会英语,因此A的左右必须是会英语的B和C。
  2. 构建局部结构:以A为中心,B和C必须相邻,形成对称的两种情况(BAC或CAB)。
  3. 扩展连接链:通过语言交集逐步连接其他科学家,例如C的另一侧必须是懂意大利语的E,B的另一侧可选择懂汉语的D或G。
  4. 验证环形闭合:确保最终排列形成闭合的环,所有相邻科学家的语言条件均满足。

破题关键点:

  • A的特殊性:A的左右必须为B和C。
  • C的扩展方向:C的另一侧只能是E(唯一懂意大利语的人)。
  • B的扩展方向:B的另一侧可选D或G(懂汉语的人),需分情况讨论。

步骤1:确定A的位置

  • A只会英语,因此A的左右必须是会英语的B和C。
  • 圆桌对称性:BAC和CAB两种情况等价,只需讨论其中一种。

步骤2:扩展C的另一侧

  • C懂意大利语,唯一懂意大利语的E必须与C相邻。
  • 此时排列片段为:A-C-E。

步骤3:扩展B的另一侧

  • B懂汉语,另一侧可选D(汉语)或G(汉语)。
  • 分情况讨论:
    1. B的另一侧为D:
      • D懂日语,另一侧可连接F(日语)。
      • F懂德语,另一侧可连接G(德语)或E(德语)。
      • 最终排列:A-B-D-F-E-C-G-A(需闭合)。
    2. B的另一侧为G:
      • G懂德语,另一侧可连接F(德语)。
      • F懂日语,另一侧连接D(日语)。
      • 最终排列:A-B-G-F-D-E-C-A(需闭合)。

步骤4:验证闭合性

  • 所有排列需保证首尾相连时,A的左右仍为B和C。
  • 例如:A-B-D-G-F-E-C-A 中,C与A相邻(英语),闭合成立。

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