[题目]设 f(x)= {x)^3,xleqslant 1 (x)^2,xgt 1 . 则f(x)在 x=1-|||-处的() ()-|||-A.左、右导数都存在-|||-B.左导数存在,右导数不存在-|||-C.左导数不存在,右导数存在-|||-D.左、右导数都不存在

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的左右导数是否存在，需要分别计算左导数和右导数的极限是否存在。

解题核心思路：

1. 左导数：当$x$从左侧趋近于1时，使用左邻域的函数表达式$f(x)=\dfrac{2}{3}x^3$，通过导数定义计算极限。
2. 右导数：当$x$从右侧趋近于1时，使用右邻域的函数表达式$f(x)=x^2$，通过导数定义计算极限。
3. 关键点：若左右导数的极限存在且相等，则函数在该点可导；若至少有一个极限不存在，则函数在该点不可导。本题重点在于判断左右导数是否存在。

左导数计算

当$x \leqslant 1$时，$f(x)=\dfrac{2}{3}x^3$，因此：
$f(1) = \dfrac{2}{3} \cdot 1^3 = \dfrac{2}{3}$
左导数定义为：
$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \dfrac{\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{2}{3}}{x - 1}$
分子因式分解：
$\dfrac{2}{3}(x^3 - 1) = \dfrac{2}{3}(x - 1)(x^2 + x + 1)$
约分后：
$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \dfrac{2}{3}(x^2 + x + 1) = \dfrac{2}{3}(1 + 1 + 1) = 2$
结论：左导数存在，且等于2。

右导数计算

当$x > 1$时，$f(x)=x^2$，因此：
$f(1) = \dfrac{2}{3} \quad (\text{仍取左极限值})$
右导数定义为：
$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{x^2 - \dfrac{2}{3}}{x - 1}$
分子展开：
$x^2 - \dfrac{2}{3} = \left(x - 1\right)\left(x + 1\right) + \left(1 - \dfrac{2}{3}\right) = \left(x - 1\right)\left(x + 1\right) + \dfrac{1}{3}$
当$x \to 1^+$时，分子趋近于$\dfrac{1}{3}$，分母趋近于$0^+$，因此：
$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{\dfrac{1}{3} + \text{高阶小项}}{x - 1} \to +\infty$
结论：右导数不存在。