设有一圆板占有平面闭区域 (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 1} . 该圆板被加热,以致在点(x,y)-|||-的温度是 =(x)^2+2(y)^2-x 求该圆板的最热点和最冷点.

考查要点：本题主要考查多元函数在闭区域上的极值求解，涉及内部驻点和边界极值的分析。

解题思路：

1. 内部驻点：求温度函数$T(x,y)=x^2+2y^2-x$的偏导数，解方程组$\frac{\partial T}{\partial x}=0$和$\frac{\partial T}{\partial y}=0$，找到可能的极值点。
2. 边界极值：在圆板边界$x^2+y^2=1$上，通过参数化或代数变形（如配方）求极值。
3. 比较所有候选点：综合内部驻点和边界极值，确定全局最大值和最小值。

破题关键：

• 驻点求解：正确计算偏导数并解方程组。
• 边界处理：将温度函数转化为单变量函数，利用配方或导数求极值。
• 极值比较：注意内部极值可能比边界极值更小（如本题最冷点在内部）。

1. 求内部驻点

对$T(x,y)=x^2+2y^2-x$求偏导：
$\frac{\partial T}{\partial x}=2x-1,\quad \frac{\partial T}{\partial y}=4y.$
令偏导数为0，解得驻点：
$\begin{cases}2x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}, \\4y=0 \Rightarrow y=0.\end{cases}$
对应温度为：
$T\left(\dfrac{1}{2},0\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 2 \cdot 0^2 - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}.$

2. 求边界极值

在边界$x^2+y^2=1$上，用$y^2=1-x^2$代入温度函数：
$T = x^2 + 2(1-x^2) - x = -x^2 - x + 2.$
配方得：
$T = -\left(x^2 + x + \dfrac{1}{4}\right) + \dfrac{1}{4} + 2 = -\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{9}{4}.$

• 最大值：当$\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2=0$，即$x=-\dfrac{1}{2}$时，$T_{\text{max}}=\dfrac{9}{4}$。此时$y^2=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}$，对应点$\left(-\dfrac{1}{2}, \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$。
• 最小值：当$\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2$最大，即$x=1$时，$T=0$，对应点$(1,0)$。

3. 比较所有候选点

• 内部驻点温度：$-\dfrac{1}{4}$（最冷）
• 边界最大值：$\dfrac{9}{4}$（最热）
• 边界最小值：$0$（非全局最小）