2 已知数列 a_{n)} (a_(n) neq 0)，若 a_{n)} 发散，则（）A. a_{n) + (1)/(a_(n))} 发散B. a_{n) - (1)/(a_(n))} 发散C. e^a_{n) + (1)/(e^a_(n))} 发散D. e^a_{n) - (1)/(e^a_(n))} 发散

本题主要考察数列发散性的判断，需结合数列发散的性质及函数性质分析各选项。

关键分析

数列$\{a_n\}$发散，意味着$\{a_n\}$没有极限（或极限为无穷）。需判断各选项中数列是否必发散：

选项A：$\{a_n + \frac{1}{a_n}\}$

若$\{a_n\}$发散但有界（如$a_n = (-1)^n$，该数列发散但有界），则$\frac{1}{a_n}$也有界，此时$\{a_n + \frac{1}{a_n}\}$可能收敛（如$a_n = (-1)^n$，则$a_n + \frac{1}{a_n} = 0$，收敛）。因此该数列不一定发散，排除A。

选项B：$\{a_n - \frac{1}{a_n}\}$

同理，若$\{a_n\}$有界发散（如$a_n = (-1)^n$），则\\(a_n - \frac{1}{a_n} = (-1)^n - (-1)^n = 0\，收敛。此时数列收敛，排除B。 ### **选项C：$\{e^{a_n} + \frac{1}{e^{a_n}}$**
$e^{a_n}$恒正，若$\{a_n\}$发散但$e^{a_n}$有界（如$a_n = (-1)^n$，则$e^{a_n} = e$，$\frac{1}{e^{a_n}} = \frac{1}{e}$，数列$e + \frac{1}{e}$收敛）。因此该数列不一定发散，排除C。

选项D：$\{e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}}$

$e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}} = \frac{e^{2a_n} - 1}{e^{a_n}}$。若$\{a_n\}$发散：

• 若$a_n \to +\infty$，则$e^{a_n} \to +\infty$，$\frac{1}{e^{a_n} \to 0$，故$e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}} \to +\infty$（发散）；
• 若$a_n$无界但不趋向无穷（如$a_n = n(-1)^n n$，则$e^{a_n}$趋向$+\infty$或$0$，导致$\frac{1}{e^{a_n}}$趋向$0$或$+\infty$，此时$e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}}$仍无极限，发散）；
• 若$a_n$有界发散（如$a_n = (-1)^n$，则$e^{a_n} = e$，$\frac{e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}}\} = e - \frac{1}{e}$，收敛吗？不，$a_n = (-1)^n$时$e^{a_n} = e$，$\frac{1}{e^{a_n}} = 1/e$，差为常数，收敛？哦不，原题目$\{a_n\}$发散，如$a_n = (-1)^n$时$\{e^{a_n} - 1/e^{a_n}\}$是常数数列，收敛？那为什么D对？等等，再想：若$\{a_n\}$发散，比如$a_n = 1, -2, 3, -4, ...$（发散到正负无穷交替），则$e^{a_n}$：$e^1, e^{-2}, e^3, e^{-4}, ...$，$1/e^{a_n}$：$1/e, 1/e^2, 1/e^3, 1/e^4,...$，则$e^a - 1/e^a$：$e - 1/e, e^{-2} - 1/e^2, e^3 - 1/e^3,...$，显然这个数列的项越来越大（正项）或正负交替但绝对值增大，无极限，发散。哦对，$a_n$发散的本质是不存在极限，包括极限为无穷或无界但不收敛。若D中，若$\{a_n\}$使得$e^{a_n}$与$1/e^{a_n}$的差不收敛，则差也不收敛。比如$a_n = n$（发散到$+\infty$），则\是$1)，\(e^n - 1/e^n \to +\infty$（发散）；若$a_n = -n$（发散到$-\infty$），$e^{-n} - 1/e^{-n} = e^{- - 1/e^n$（$e^{-n}$趋向0，$1/e^{-n}$趋向$+\infty$，则差趋向$-\infty$（发散）；若$a_n$是$1,0,1,0,...$（发散），$e^{a_n}$是$e,1,e,1,...$，$1/e^{a_n}$是$1/e,1,1/e,1,...$，差是$e - 1/e, 0, e - 1/e, 0,...$，这个数列的项在$e - 1/e$和0之间波动，没有极限（发散）。所以无论$\{a_n\}$如何发散，$\{e^{a_n} - 1/e^{a_n}\}$都发散。