设矩阵 A, B 都是 n 阶方阵，则下列等式一定成立的是 ( ).(A) AB = BA(B) |AB| = |BA|(C) |A-B| = |A| - |B|(D) (AB)^T = A^T B^T

我们来逐项分析题目中的四个选项，判断哪一个一定成立。已知矩阵 $ A $、$ B $ 都是 $ n $ 阶方阵。

选项 (A): $ AB = BA $

这个等式表示矩阵乘法的交换律。

但是，矩阵乘法一般不满足交换律，即 $ AB $ 不一定等于 $ BA $。
例如，取：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

计算得：

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

显然 $ AB \ne BA $。

所以，(A) 不一定成立。

选项 (B): $ |AB| = |BA| $

这里 $ |\cdot| $ 表示矩阵的行列式。

我们知道行列式的性质：

$|AB| = |A||B|,\quad |BA| = |B||A|$

而实数乘法是交换的，所以 $ |A||B| = |B||A| $，因此：

$|AB| = |BA|$

这个等式总是成立，无论 $ A $ 和 $ B $ 是否可交换。

所以，(B) 一定成立。

选项 (C): $ |A - B| = |A| - |B| $

这个是错误的。行列式不满足线性减法。

举个反例：

取 $ A = I $（单位矩阵），$ B = I $，都是 $ 2\times2 $ 矩阵：

$|A - B| = |0| = 0,\quad |A| - |B| = 1 - 1 = 0$

这个例子碰巧相等。

再换一个例子：
设 $ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $，则 $ |A| = 4 $
设 $ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $，则 $ |B| = 1 $

则 $ A - B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $，行列式为 1

而 $ |A| - |B| = 4 - 1 = 3 \ne 1 $

所以 $ |A - B| \ne |A| - |B| $

因此 (C) 不一定成立。

选项 (D): $ (AB)^T = A^T B^T $

这是错误的。矩阵转置的正确公式是：

$(AB)^T = B^T A^T$

注意顺序是反的。

例如，取：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

则：

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix},\quad (AB)^T = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

而：

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix},\quad B^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad A^T B^T = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \ne (AB)^T$

所以 (D) 不成立。

结论：

四个选项中，只有 (B) 一定成立。

答案：

$\boxed{\text{(B) } |AB| = |BA|}$