5.判断题 f(z)=overline(z) 在复平面上处处连续，但处处不可导.A 对B 错

为了判断函数 $ f(z) = \overline{z} $ 是否在复平面上处处连续但处处不可导，我们需要分别分析函数的连续性和可导性。 ### 连续性 函数 $ f(z) = \overline{z} $ 将复数 $ z = x + yi $ 映射到它的复共轭 $ \overline{z} = x - yi $。为了检查 $ f(z) $ 是否连续，我们需要看当 $ z $ 接近 $ z_0 $ 时，$ f(z) $ 是否接近 $ f(z_0) $。 设 $ z_0 = x_0 + y_0i $。那么 $ f(z_0) = x_0 - y_0i $。对于任何 $ z = x + yi $，我们有： \[ f(z) = x - yi. \] 当 $ z $ 接近 $ z_0 $ 时，$ x $ 接近 $ x_0 $ 且 $ y $ 接近 $ y_0 $。因此，$ f(z) = x - yi $ 接近 $ x_0 - y_0i = f(z_0) $。这表明 $ f(z) $ 在任何点 $ z_0 $ 处都是连续的。因此，$ f(z) = \overline{z} $ 在复平面上处处连续。 ### 可导性 函数 $ f(z) $ 在点 $ z_0 $ 处可导，如果极限 \[ \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \] 存在。对于 $ f(z) = \overline{z} $，这个极限变为 \[ \lim_{z \to z_0} \frac{\overline{z} - \overline{z_0}}{z - z_0}. \] 设 $ z = z_0 + h $，其中 $ h = h_1 + h_2i $。那么 \[ \overline{z} = \overline{z_0 + h} = \overline{z_0} + \overline{h} = \overline{z_0} + h_1 - h_2i. \] 极限现在是 \[ \lim_{h \to 0} \frac{\overline{h}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h_1 - h_2i}{h_1 + h_2i}. \] 为了看这个极限是否存在，我们可以考虑 $ h $ 沿不同路径接近 0 的情况。如果 $ h $ 沿实轴接近 0，那么 $ h_2 = 0 $ 且极限是 \[ \lim_{h_1 \to 0} \frac{h_1}{h_1} = 1. \] 如果 $ h $ 沿虚轴接近 0，那么 $ h_1 = 0 $ 且极限是 \[ \lim_{h_2 \to 0} \frac{-h_2i}{h_2i} = -1. \] 由于极限沿不同路径接近 0 时值不同，极限不存在。因此，$ f(z) = \overline{z} $ 在任何点 $ z_0 $ 处都不可导。 ### 结论 函数 $ f(z) = \overline{z} $ 在复平面上处处连续但处处不可导。因此，正确答案是： \[ \boxed{A} \]