12.设随机变量X的密度函数为-|||-p(x)= ) 1-|x|,-1leqslant xleqslant 1 0, .-|||-试求X的分布函数.

考查要点：本题主要考查连续型随机变量分布函数的求解方法，重点在于理解密度函数的分段特性，并正确进行分段积分。

解题核心思路：

1. 分段讨论：根据密度函数$p(x)$的定义域，将实数轴划分为四个区间：$x < -1$，$-1 \leq x < 0$，$0 \leq x < 1$，$x \geq 1$。
2. 积分计算：在每个区间内，根据密度函数的具体表达式计算分布函数$F(x) = \int_{-\infty}^x p(t) \, dt$。
3. 连续性验证：确保分布函数在分段点处连续。

破题关键点：

• 密度函数分段形式：在区间$[-1,0)$，$p(x)=1+x$；在区间$[0,1)$，$p(x)=1-x$。
• 积分区间简化：当$x$在某一区间时，只需对密度函数非零的部分积分。

当 $x < -1$ 时

密度函数$p(x)=0$，因此：
$F(x) = \int_{-\infty}^x 0 \, dt = 0.$

当 $-1 \leq x < 0$ 时

密度函数$p(x)=1+x$，积分区间为$[-1, x]$：
$\begin{aligned}F(x) &= \int_{-1}^x (1+t) \, dt \\&= \left[ t + \frac{t^2}{2} \right]_{-1}^x \\&= \left( x + \frac{x^2}{2} \right) - \left( -1 + \frac{1}{2} \right) \\&= \frac{x^2}{2} + x + \frac{1}{2}.\end{aligned}$

当 $0 \leq x < 1$ 时

需分两段积分：

1. 从$-1$到$0$：
   $\int_{-1}^0 (1+t) \, dt = \left[ t + \frac{t^2}{2} \right]_{-1}^0 = \frac{1}{2}.$
2. 从$0$到$x$：
   $\int_0^x (1-t) \, dt = \left[ t - \frac{t^2}{2} \right]_0^x = x - \frac{x^2}{2}.$
   总和为：
   $F(x) = \frac{1}{2} + x - \frac{x^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + x + \frac{1}{2}.$

当 $x \geq 1$ 时

密度函数积分覆盖整个非零区域：
$F(x) = \int_{-1}^1 (1-|t|) \, dt = 1.$