x -1 0 0-|||-0 x -1 0-|||-0 0 x -1 =a3x ^3+a 2x^2+a1x+a 0.-|||-a0 a1 a2 a3

考查要点：本题主要考查行列式的展开方法，特别是利用代数余子式展开计算四阶行列式，并验证其等于给定的三次多项式。

解题核心思路：

1. 选择展开方式：优先选择元素较多或结构简单的行/列展开，简化计算。本题中，最后一行有三个非零元素（a0, a1, a2, a3），适合展开。
2. 代数余子式计算：对每个元素对应的余子式进行递归展开，注意符号因子的计算。
3. 归纳结果：将所有展开项相加，整理后得到目标多项式。

破题关键点：

• 正确识别行列式结构：前三行为上三角矩阵，最后一行打破结构。
• 符号因子的处理：代数余子式的符号由位置决定，需准确计算。

方法一：按最后一行展开

行列式为：
$D = \begin{vmatrix}x & -1 & 0 & 0 \\0 & x & -1 & 0 \\0 & 0 & x & -1 \\a_0 & a_1 & a_2 & a_3\end{vmatrix}$

按最后一行展开，得：
$D = a_0 A_{41} + a_1 A_{42} + a_2 A_{43} + a_3 A_{44}$

计算代数余子式

1. $A_{41}$（去掉第4行第1列）：
   $A_{41} = (-1)^{4+1} \begin{vmatrix}-1 & 0 & 0 \\x & -1 & 0 \\0 & x & -1\end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1)^3 = 1$

2. $A_{42}$（去掉第4行第2列）：
   $A_{42} = (-1)^{4+2} \begin{vmatrix}x & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\0 & x & -1\end{vmatrix} = 1 \cdot x = x$

3. $A_{43}$（去掉第4行第3列）：
   $A_{43} = (-1)^{4+3} \begin{vmatrix}x & -1 & 0 \\0 & x & 0 \\0 & 0 & -1\end{vmatrix} = (-1) \cdot (-x^2) = x^2$

4. $A_{44}$（去掉第4行第4列）：
   $A_{44} = (-1)^{4+4} \begin{vmatrix}x & -1 & 0 \\0 & x & -1 \\0 & 0 & x\end{vmatrix} = 1 \cdot x^3 = x^3$

整理结果

$D = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + a_3 \cdot x^3 = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$