1.下列式子在复数平面上各具有怎样的意义?-|||-(1) |z|leqslant 2 ,-|||-(2) |z-a|=|z-b| (a,b为复常数),-|||-(3) gt dfrac (1)(2) ,-|||-(4) |z|+Rezleqslant 1 ,-|||-(5) alpha lt arcsin dfrac (3)(3)lt beta ,lt Rezlt b (α,β,a和b为实常数),-|||-(6) lt arccos dfrac (x-i)(z+i)lt dfrac (pi )(4),-|||-(7) |dfrac (z-1)(z+1)|leqslant 1 --|||-(8) (-dfrac (1)(z))=2 --|||-(9) (z)^2=(a)^2 (a是实常数),-|||-(10) (|{z)_(1)+(z)_(2)|}^2+(|{z)_(1)-(z)_(2)|}^2=2(|z|)^2+2(|z|)^2 -

题目考察知识

复数的几何意义、复数模与实部的计算、常见曲线（圆、直线、抛物线、双曲线等）的复数表示，以及复数代数运算与几何图形的对应关系。

各小题详细思路

(1) $|z| \leqslant 2$

设 $z = x + yi$（$x,y \in \mathbb{R}$），则 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$。不等式 $|z| \leqslant 2$ 等价于 $\sqrt{x^2 + y^2} \leqslant 2$，平方后得 $x^2 + y^2 \leqslant 4$，表示以原点为圆心、半径为2的圆及其内部。

(2) $|z - a| = |z - b|$

设 $a = x_1 + y_1i$，$b = x_2 + y_2i$，$z = x + yi$。则：
$|z - a|^2 = (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2, \quad |z - b|^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2$
等式成立即：
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2$
展开化简得：$2(x_2 - x_1)x + 2(y_2 - y_1)y = x_2^2 + y_2^2 - x_1^2 - y_1^2$，这是线段$ab$的垂直平分线方程。

(3) $Rez > \frac{1}{2}$

$Rez = x$（$z = x + yi$），故不等式等价于 $x > \frac{1}{2}$，表示直线$x = \frac{1}{2}$右侧的半平面。

(4) $|z| + Rez \leqslant 1$

设 $z = x + yi$，则 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$，不等式为：
$\sqrt{x^2 + y^2} + x \leqslant 1 \implies \sqrt{x^2 + y^2} \leqslant 1 - x$
平方（注意$1 - x \geqslant 0$即$x \leqslant 1$）：
$x^2 + y^2 \leqslant 1 - 2x + x^2 \implies y^2 \leqslant 1 - 2x$
表示抛物线$y^2 = 1 - 2x$及其内部区域。

(5) $\alpha < \arcsin\frac{z}{3} < \beta$，$a < Rez < b$（修正题目符号）

设 $z = x + yi$，$\arcsin\frac{z}{3}$的辐角范围对应$z$的辐角$\varphi$满足$\alpha < \varphi < \beta$（射线），$a < Rez = x < b$（两直线间的带形），故交集为射线$\varphi = \alpha$、$\varphi = \beta$与直线$x = a$、$x = b$围成的梯形。

(6) $0 < \arccos\frac{z - i}{z + i} < \frac{\pi}{4}$

设 $w = \frac{z - i}{z + i}$，$\arccos w$的范围等价于$w$的实部$Re(w) > 0$（$\arccos w$在$[0,\pi]$，$0 < \arccos w < \frac{\pi}{4}$则$\cos\frac{\pi}{4} < w < 1$），即：
$Re\left(\frac{z - i}{z + i}\right) = \frac{|z|^2 - 1}{|z + i|^2} > 0 \implies |z|^2 > 1$
同时$\arg w < \frac{\pi}{4}$，但原答案修正为“左半平面$x < 0$除去圆$(x + 1)^2 + y^2 = 2$及其内部”（可能题目符号误差）。

(7) $\left|\frac{z - 1}{z + 1}\right| \leqslant 1$

设 $z = x + yi$，则：
$|z - 1|^2 \leqslant |z + 1|^2 \implies (x - 1)^2 + y^2 \leqslant (x + 1)^2 + y^2$
展开得$-4x \leqslant 4x \implies x \geqslant 0$，表示右半平面（含$y$轴）。

(8) $Re\left(-\frac{1}{z}\right) = 2$

设 $z = x + yi$，$\frac{1}{z} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2}$，则：
$Re\left(-\frac{1}{z}\right) = -\frac{x}{x^2 + y^2} = 2 \implies x = -2(x^2 + y^2)$
整理得$\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2$，表示圆心$(-\frac{1}{4},0)$、半径$\frac{1}{4}$的圆（原答案可能符号笔误）。

(9) $Re(z^2) = a^2$

$z^2 = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$，故$Re(z^2) = x^2 - y^2 = a^2$，表示等轴双曲线$x^2 - y^2 = a^2$。

(10) $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2|z_1|^2 + 2|z_2|^2$

左边展开：
$|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2Re(z_1\overline{z_2}),\quad |z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2Re(z_1\overline{z_2})$
相加得$2|z_1|^2 + 2|z_2|^2$，等式恒成立，几何意义为平行四边形对角线平方和等于两邻边平方和的两倍。