[例8.24] 求连续函数f(x),使它满足 (x)+2(int )_(0)^xf(t)dt=(x)^2,

考查要点：本题主要考查变上限积分的求导法则及一阶线性微分方程的解法。
解题思路：

1. 消去积分项：通过对原方程两边求导，将积分方程转化为微分方程；
2. 求解微分方程：利用积分因子法求解一阶线性微分方程；
3. 确定特解：通过代入初始条件确定通解中的常数。

关键点：

• 变上限积分求导：$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} f(t)dt = f(x)$；
• 积分因子法：构造积分因子简化微分方程求解过程。

原方程：
$f(x) + 2\int_{0}^{x} f(t)dt = x^2$

步骤1：对原方程求导

对等式两边关于$x$求导：
$\begin{aligned}\frac{d}{dx} \left[ f(x) + 2\int_{0}^{x} f(t)dt \right] &= \frac{d}{dx} (x^2) \\f'(x) + 2f(x) &= 2x\end{aligned}$

步骤2：求解微分方程

微分方程为：
$f'(x) + 2f(x) = 2x$
积分因子法：

1. 构造积分因子：
   $\mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$
2. 方程两边乘积分因子：
   $e^{2x}f'(x) + 2e^{2x}f(x) = 2x e^{2x}$
   左侧可化简为：
   $\frac{d}{dx} \left( e^{2x}f(x) \right) = 2x e^{2x}$
3. 积分求解：
   $e^{2x}f(x) = \int 2x e^{2x} dx + C$
   分部积分：
   令$u = x$，$dv = 2e^{2x}dx$，则$du = dx$，$v = e^{2x}$，得：
   $\begin{aligned} \int 2x e^{2x} dx &= x e^{2x} - \int e^{2x} dx \\ &= x e^{2x} - \frac{1}{2}e^{2x} + C \end{aligned}$
   因此：
   $e^{2x}f(x) = x e^{2x} - \frac{1}{2}e^{2x} + C$
4. 化简得通解：
   $f(x) = x - \frac{1}{2} + C e^{-2x}$

步骤3：代入初始条件

当$x=0$时，原方程变为：
$f(0) + 2\int_{0}^{0} f(t)dt = 0^2 \implies f(0) = 0$
代入通解：
$0 = 0 - \frac{1}{2} + C e^{0} \implies C = \frac{1}{2}$
特解：
$f(x) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}e^{-2x}$