已知某合成试验的反应温度范围为 340 sim 420^circmathrm(C)，通过单因素优选法得到当温度为 400^circmathrm(C) 时，产品的合成率最高，如果使用的是黄金分割法，问优选过程是如何进行的，共需做多少次试验（假设在试验范围内合成率是温度的单峰函数）？

本题考查黄金分割法在单因素优选问题中的应用。解题思路是先根据黄金分割法的原理确定试验点的选取方法，再通过计算确定满足精度要求所需的试验次数，最后按照试验步骤逐步进行试验并确定最终范围。

1. 确定初始范围和精度要求

已知反应温度范围为$340\sim420^{\circ}C$，则初始范围长度$L_0 = 420 - 340 = 80^{\circ}C$。
因为最终要使范围长度小于$20^{\circ}C$，根据黄金分割法，每次试验后范围长度变为原来的$0.618$倍，设需要做$n$次试验，则需满足$0.618^n\times L_0 < 20$，即$0.618^n\times 80 < 20$。
对不等式$0.618^n\times 80 < 20$进行求解：
$\begin{align*}0.618^n\times 80 &< 20\\0.618^n &< \frac{20}{80}\\0.618^n &< 0.25\\n\ln0.618 &< \ln0.25\\n &> \frac{\ln0.25}{\ln0.618}\\n &> \frac{-1.3863}{-0.4812}\\n &> 2.88\end{align*}$
由于试验次数$n$为整数，所以$n = 3$，但实际操作中还需考虑试验点的选取和范围的调整，所以还需要额外的试验。

2. 进行试验

• 第1次试验：
  根据黄金分割法，第一个试验点$x_1$的计算公式为$x_1 = 340 + 0.618\times(420 - 340)=340 + 0.618\times80 = 340 + 49.44 = 389.44^{\circ}C$。
  第二个试验点$x_2$的计算公式为$x_2 = 340 + 420 - x_1 = 340 + 420 - 389.44 = 370.56^{\circ}C$。
• 第2次试验：
  比较$x_1$和$x_2$处的合成率，因为已知$400^{\circ}C$时合成率最高，所以舍去$[340, 370.56]$这个范围。
  新的范围为$[370.56, 420]$，第三个试验点$x_3$的计算公式为$x_3 = 370.56 + 420 - 389.44 = 401.12^{\circ}C$。
• 第3次试验：
  比较$x_1$和$x_3$处的合成率，因为已知$400^{\circ}C$时合成率最高，所以舍去$[408.32, 420]$这个范围。
  新的范围为$[370.56, 408.32]$，第四个试验点$x_4$的计算公式为$x_4 = 370.56 + 408.32 - 389.44 = 408.32^{\circ}C$。

3. 确定最终范围

经过3次范围调整后，最终范围为$[389.44, 408.32]$，其长度为$408.32 - 389.44 = 18.88^{\circ}C < 20^{\circ}C$，且该范围包含$400^{\circ}C$。