题目
一学生忘记带钥匙,找宿舍管理员帮忙开门,管理员有一串钥匙共有20把,其中有4把能打开该生的宿舍门,因管理员忘记哪些能打开门,便逐把试开,求下列事件的概率:(1)第3把钥匙能打开门; (2)第3把钥匙才打开门; (3)最多试3把钥匙就能打开门.
一学生忘记带钥匙,找宿舍管理员帮忙开门,管理员有一串钥匙共有20把,其中有4把能打开该生的宿舍门,因管理员忘记哪些能打开门,便逐把试开,求下列事件的概率:
(1)第3把钥匙能打开门;
(2)第3把钥匙才打开门;
(3)最多试3把钥匙就能打开门.
题目解答
答案
解：
(1)第3把钥匙是这4把钥匙中的一把，从4把钥匙中选一把共有4种情况，而样本完备空间共有20种，由此可得
；
(2)连续开三次，样本空间为
,前两把都不能打开，第三次才打开，有
种情况，
；
(3)
①第一次就开门，概率为
②第二次才开门，概率为
③第三次才开门，概率为
∴
解析
步骤 1：计算第3把钥匙能打开门的概率
第3把钥匙能打开门，意味着前两把钥匙都不能打开门，而第3把钥匙能打开门。因此，前两把钥匙从16把不能打开门的钥匙中选，第3把钥匙从4把能打开门的钥匙中选。样本空间为20把钥匙中选3把，因此概率为$\dfrac{16\times 15\times 4}{20\times 19\times 18}$。
步骤 2：计算第3把钥匙才打开门的概率
第3把钥匙才打开门，意味着前两把钥匙都不能打开门，而第3把钥匙能打开门。因此，前两把钥匙从16把不能打开门的钥匙中选，第3把钥匙从4把能打开门的钥匙中选。样本空间为20把钥匙中选3把，因此概率为$\dfrac{16\times 15\times 4}{20\times 19\times 18}$。
步骤 3：计算最多试3把钥匙就能打开门的概率
最多试3把钥匙就能打开门，意味着在前3把钥匙中至少有一把能打开门。因此，可以分别计算前1把、前2把、前3把钥匙中至少有一把能打开门的概率，然后相加。前1把钥匙能打开门的概率为$\dfrac{4}{20}$，前2把钥匙中至少有一把能打开门的概率为$\dfrac{4}{20}+\dfrac{16\times 4}{20\times 19}$，前3把钥匙中至少有一把能打开门的概率为$\dfrac{4}{20}+\dfrac{16\times 4}{20\times 19}+\dfrac{16\times 15\times 4}{20\times 19\times 18}$。
第3把钥匙能打开门，意味着前两把钥匙都不能打开门，而第3把钥匙能打开门。因此，前两把钥匙从16把不能打开门的钥匙中选，第3把钥匙从4把能打开门的钥匙中选。样本空间为20把钥匙中选3把，因此概率为$\dfrac{16\times 15\times 4}{20\times 19\times 18}$。
步骤 2：计算第3把钥匙才打开门的概率
第3把钥匙才打开门，意味着前两把钥匙都不能打开门，而第3把钥匙能打开门。因此，前两把钥匙从16把不能打开门的钥匙中选，第3把钥匙从4把能打开门的钥匙中选。样本空间为20把钥匙中选3把，因此概率为$\dfrac{16\times 15\times 4}{20\times 19\times 18}$。
步骤 3：计算最多试3把钥匙就能打开门的概率
最多试3把钥匙就能打开门，意味着在前3把钥匙中至少有一把能打开门。因此，可以分别计算前1把、前2把、前3把钥匙中至少有一把能打开门的概率，然后相加。前1把钥匙能打开门的概率为$\dfrac{4}{20}$，前2把钥匙中至少有一把能打开门的概率为$\dfrac{4}{20}+\dfrac{16\times 4}{20\times 19}$，前3把钥匙中至少有一把能打开门的概率为$\dfrac{4}{20}+\dfrac{16\times 4}{20\times 19}+\dfrac{16\times 15\times 4}{20\times 19\times 18}$。