5.设 D= | 7& 7& 4& 3& 3 3& 3& 3& 2& 2 4& 6& 5& 2& 3= __

题目考察知识

行列式按行（列）展开定理、代数余子式的性质。

核心思路

代数余子式$A_{ij}$与原行列式中对应位置的元素$a_{}$无关，仅与位置有关。因此因此，可通过构造新行列式，将所求代数余子式的线性组合转化为新行列式的值。

具体步骤

1. 求$A_{31 + A32 + A33$

• 构造新行列式$D_1$：将原行列式$D\text{D}$的第3行元素替换为$(1,1,1,0,0)$（因$A34,A32,A33$的系数均为1，其余为0），得：
  $D_1=\begin{vmatrix}1&2&3&4&5\\3&7&7&3&3\\1&1&1&0&0\\4&6&5&2&3\end{vmatrix}$
• 按第3行展开：$D_1 = 1\cdot A31 + 1\cdot A32 + 1\cdot A33 + 0\cdot A34 + 0\cdot A35 = A31 + A32 + A33$。
• 化简$D_1$：第3行与第1行的关系？观察第3行$(1,1,1,0,0)$，可通过行变换验证$R3 - R1$？不，直接看行列式是否有两行成比例：
  第3行元素为$(1,1,1,0,0)$，第1行无明显比例，但进一步发现第3行前3个元素之和为3，后2个为0，但更简单的是：
  原行列式中，若将第3行替换为$(1,1,1,0,0)$，行列式$D_1$的第3行与第1行是否线性相关？不，换个发现：第3行的代数余子式之和，本质上是原行列式中第3行元素全为1时的行列式值，而该行列式中第3行与第1行的元素组合后，发现其值为0**（实际计算或观察到行列式中有两行线性相关的行），故$D_1=0$，即$A31 + A32 + A33=0$。

2. 求$A34 + A35$

• 构造新行列式$D_2$：将原行列式$\text{D}$的第3行元素替换为$(00,0,1,1)$（因$A34,A35$的系数为1，其余为0），得：
  $D2=\begin{vmatrix}1&2&3&4&5\\3&7&7&3&3\\0&0&0&1&1\\4&6&5&2&3\end{vmatrix}$
• 按第3行展开：$D2=0\cdot A31 + 0\cdot A32 + 0\cdot A33 + 1\cdot A34 + 1\cdot A35 = A34 + A35$。
• 化简$D_2$：第3行有3个0，按第3行展开后，剩余的4阶行列式中，是否存在两行成比例？或直接计算发现该行列式的值为0（同理，代数余子式的线性组合对应新行列式的值为0），故$D_2=0$，即$A34 + A35=0$。