写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程: ) x=sin t, y=cos 2t .处。

考查要点：本题主要考查参数方程的导数计算、切线方程和法线方程的求解方法。

解题核心思路：

1. 参数方程求导：利用链式法则，通过$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$计算导数。
2. 代入参数值：将$t = \dfrac{\pi}{4}$代入参数方程，确定曲线上的点坐标。
3. 求切线斜率：代入$t = \dfrac{\pi}{4}$到导数表达式中，得到切线的斜率。
4. 写方程：利用点斜式分别写出切线方程和法线方程（法线斜率为切线斜率的负倒数）。

破题关键点：

• 正确计算导数：注意分子为$\dfrac{dy}{dt}$，分母为$\dfrac{dx}{dt}$。
• 代数化简：在计算过程中需注意三角函数值的准确性及分母有理化。

1. 计算导数$\dfrac{dy}{dx}$

步骤1：分别对$x$和$y$关于$t$求导

• $\dfrac{dx}{dt} = \cos t$
• $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{d}{dt}(\cos 2t) = -2 \sin 2t$

步骤2：求$\dfrac{dy}{dx}$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{-2 \sin 2t}{\cos t}$

步骤3：化简表达式
利用三角恒等式$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$：
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-2 \cdot 2 \sin t \cos t}{\cos t} = -4 \sin t$

2. 代入$t = \dfrac{\pi}{4}$

步骤1：求点坐标

• $x = \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
• $y = \cos \left(2 \cdot \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos \dfrac{\pi}{2} = 0$

步骤2：求导数值
$\dfrac{dy}{dx}\Bigg|_{t = \dfrac{\pi}{4}} = -4 \sin \dfrac{\pi}{4} = -4 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$

3. 写切线方程和法线方程

切线方程：
斜率为$-2\sqrt{2}$，过点$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$，由点斜式：
$y - 0 = -2\sqrt{2}\left(x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
整理得：
$2\sqrt{2}x + y - 2 = 0$

法线方程：
法线斜率为$\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$，同一点代入点斜式：
$y - 0 = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
整理得：
$\sqrt{2}x - 4y - 1 = 0$