已知P(A)=0.7，P(A)=0.7，P(A)=0.7，求P(A)=0.7.

考查要点：本题主要考查条件概率、事件运算及概率公式的综合应用，涉及事件的补集、差集、并集等运算，以及条件概率的定义和分解技巧。

解题核心思路：

1. 利用补集概率求P(B)：由$P(\overline{B})=0.6$可得$P(B)=1-0.6=0.4$。
2. 通过差集公式求$P(A \cap B)$：根据$P(A-B)=P(A)-P(A \cap B)$，代入已知数据求出交集概率。
3. 分解条件概率的分子：将$P((A \cup B) \cap \overline{A})$转化为$P(B \cap \overline{A})$，并利用概率加法公式进一步简化。
4. 代入条件概率公式：最终通过分子分母的计算得到结果。

破题关键点：

• 正确理解事件运算关系：明确$(A \cup B) \cap \overline{A} = B \cap \overline{A}$。
• 灵活运用概率公式：如差集公式、条件概率公式及事件分解技巧。

步骤1：求$P(B)$

由$P(\overline{B})=0.6$，根据补集概率公式：
$P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - 0.6 = 0.4$

步骤2：求$P(A \cap B)$

根据差集公式$P(A-B) = P(A) - P(A \cap B)$，代入已知数据：
$0.5 = 0.7 - P(A \cap B) \implies P(A \cap B) = 0.7 - 0.5 = 0.2$

步骤3：分解条件概率的分子

目标概率为：
$P(A \cup B | \overline{A}) = \frac{P((A \cup B) \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$
其中：

• 分子分解：$(A \cup B) \cap \overline{A} = (A \cap \overline{A}) \cup (B \cap \overline{A}) = B \cap \overline{A}$（因$A \cap \overline{A} = \emptyset$）
• 进一步简化：$P(B \cap \overline{A}) = P(B) - P(A \cap B) = 0.4 - 0.2 = 0.2$

步骤4：计算分母

$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3$

步骤5：代入公式求结果

$P(A \cup B | \overline{A}) = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}$