题目
f(x)=ae^x-x+a(a gt 0).(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：1+ln a+a gt 0时，f(x)=0在(-infty ,+infty )无实根.
$f\left(x\right)=ae^{x}-x+a\left(a \gt 0\right)$.
$(1)$讨论$f\left(x\right)$的单调性；
$(2)$证明：$1+\ln a+a \gt 0$时，$f\left(x\right)=0$在$\left(-\infty ,+\infty \right)$无实根.
$(1)$讨论$f\left(x\right)$的单调性；
$(2)$证明：$1+\ln a+a \gt 0$时，$f\left(x\right)=0$在$\left(-\infty ,+\infty \right)$无实根.
题目解答
答案
（1）根据题意，$f\left(x\right)=ae^{x}-x+a$，其定义域为$R$，
其导数${f'}\left(x\right)=ae^{x}-1$，
若${f'}\left(x\right)=ae^{x}-1=0$，由于$a \gt 0$，必有$x=\ln \frac{1}{a}=-\ln a$，
在区间$\left(-\infty ,-\ln a\right)$上，${f'}\left(x\right) \lt 0$，$f\left(x\right)$为减函数，
在区间$\left(-\ln a,+\infty \right)$上，${f'}\left(x\right) \gt 0$，$f\left(x\right)$为增函数，
故$f\left(x\right)$的递减区间为$\left(-\infty ,-\ln a\right)$，递增区间为$\left(-\ln a,+\infty \right)$；
$(2)$证明：由（1）的结论，$f\left(x\right)$的递减区间为$\left(-\infty ,-\ln a\right)$，递增区间为$\left(-\ln a,+\infty \right)$，
则$f\left(x\right)$的最小值为$f\left(-\ln a\right)=a\times e^{-\ln a}-\left(-\ln a\right)+a=a+\ln a+1$，
若$1+\ln a+a \gt 0$，则$f\left(-\ln a\right) \gt 0$，则有$f\left(x\right) \gt 0$在$\left(-\infty ,+\infty \right)$上恒成立，
故$f\left(x\right)=0$在$\left(-\infty ,+\infty \right)$无实根.
其导数${f'}\left(x\right)=ae^{x}-1$，
若${f'}\left(x\right)=ae^{x}-1=0$，由于$a \gt 0$，必有$x=\ln \frac{1}{a}=-\ln a$，
在区间$\left(-\infty ,-\ln a\right)$上，${f'}\left(x\right) \lt 0$，$f\left(x\right)$为减函数，
在区间$\left(-\ln a,+\infty \right)$上，${f'}\left(x\right) \gt 0$，$f\left(x\right)$为增函数，
故$f\left(x\right)$的递减区间为$\left(-\infty ,-\ln a\right)$，递增区间为$\left(-\ln a,+\infty \right)$；
$(2)$证明：由（1）的结论，$f\left(x\right)$的递减区间为$\left(-\infty ,-\ln a\right)$，递增区间为$\left(-\ln a,+\infty \right)$，
则$f\left(x\right)$的最小值为$f\left(-\ln a\right)=a\times e^{-\ln a}-\left(-\ln a\right)+a=a+\ln a+1$，
若$1+\ln a+a \gt 0$，则$f\left(-\ln a\right) \gt 0$，则有$f\left(x\right) \gt 0$在$\left(-\infty ,+\infty \right)$上恒成立，
故$f\left(x\right)=0$在$\left(-\infty ,+\infty \right)$无实根.
解析
步骤 1：求导数
首先，我们对函数$f\left(x\right)=ae^{x}-x+a$求导，得到${f'}\left(x\right)=ae^{x}-1$。由于$a \gt 0$，导数${f'}\left(x\right)$的符号取决于$e^{x}$的值。
步骤 2：确定导数的零点
令${f'}\left(x\right)=0$，解得$x=\ln \frac{1}{a}=-\ln a$。这个点是导数从负到正的转折点，即函数$f\left(x\right)$的极小值点。
步骤 3：分析单调性
在$x \lt -\ln a$时，${f'}\left(x\right) \lt 0$，函数$f\left(x\right)$单调递减；在$x \gt -\ln a$时，${f'}\left(x\right) \gt 0$，函数$f\left(x\right)$单调递增。因此，$f\left(x\right)$的递减区间为$\left(-\infty ,-\ln a\right)$，递增区间为$\left(-\ln a,+\infty \right)$。
步骤 4：证明$f\left(x\right)=0$无实根
由步骤3的结论，$f\left(x\right)$的最小值为$f\left(-\ln a\right)=a\times e^{-\ln a}-\left(-\ln a\right)+a=a+\ln a+1$。若$1+\ln a+a \gt 0$，则$f\left(-\ln a\right) \gt 0$，即$f\left(x\right)$的最小值大于0，因此$f\left(x\right)$在$\left(-\infty ,+\infty \right)$上恒为正，从而$f\left(x\right)=0$在$\left(-\infty ,+\infty \right)$无实根。
首先，我们对函数$f\left(x\right)=ae^{x}-x+a$求导，得到${f'}\left(x\right)=ae^{x}-1$。由于$a \gt 0$，导数${f'}\left(x\right)$的符号取决于$e^{x}$的值。
步骤 2：确定导数的零点
令${f'}\left(x\right)=0$，解得$x=\ln \frac{1}{a}=-\ln a$。这个点是导数从负到正的转折点，即函数$f\left(x\right)$的极小值点。
步骤 3：分析单调性
在$x \lt -\ln a$时，${f'}\left(x\right) \lt 0$，函数$f\left(x\right)$单调递减；在$x \gt -\ln a$时，${f'}\left(x\right) \gt 0$，函数$f\left(x\right)$单调递增。因此，$f\left(x\right)$的递减区间为$\left(-\infty ,-\ln a\right)$，递增区间为$\left(-\ln a,+\infty \right)$。
步骤 4：证明$f\left(x\right)=0$无实根
由步骤3的结论，$f\left(x\right)$的最小值为$f\left(-\ln a\right)=a\times e^{-\ln a}-\left(-\ln a\right)+a=a+\ln a+1$。若$1+\ln a+a \gt 0$，则$f\left(-\ln a\right) \gt 0$，即$f\left(x\right)$的最小值大于0，因此$f\left(x\right)$在$\left(-\infty ,+\infty \right)$上恒为正，从而$f\left(x\right)=0$在$\left(-\infty ,+\infty \right)$无实根。