10.当数a为何值时，线性方程组方程组}x_(1)-2x_(2)+x_(3)=1-2x_(1)+x_(2)+x_(3)=1x_(1)+x_(2)+ax_(3)=-2有无穷多解?并求出其通解.

为了确定数 $a$ 的值，使得线性方程组 \[ \begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 1 \\ -2x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + x_2 + ax_3 = -2 \end{cases} \] 有无穷多解，我们需要分析该方程组的增广矩阵，并检查其秩。一个线性方程组有无穷多解当且仅当其系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩，且小于变量的个数。 首先，我们写出方程组的增广矩阵： \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & -2 \end{array}\right] \] 接下来，我们对增广矩阵进行行初等变换，以将其转换为行阶梯形。我们从第一行开始，将第一行的2倍加到第二行，将第一行的-1倍加到第三行： \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & a-1 & -3 \end{array}\right] \] 然后，我们将第二行的1倍加到第三行： \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & a+2 & 0 \end{array}\right] \] 现在，我们分析矩阵的秩。系数矩阵是： \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array}\right] \] 增广矩阵是： \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & -2 \end{array}\right] \] 从行阶梯形中，我们看到如果 $a + 2 \neq 0$，则系数矩阵和增广矩阵的秩都是3，这等于变量的个数，方程组有唯一解。如果 $a + 2 = 0$，即 $a = -2$，则系数矩阵和增广矩阵的秩都是2，小于变量的个数，方程组有无穷多解。 因此，当 $a = -2$ 时，方程组有无穷多解。此时，行阶梯形为： \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 我们可以将方程组写为： \[ \begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 1 \\ -3x_2 + 3x_3 = 3 \end{cases} \] 简化第二个方程，我们得到： \[ x_2 - x_3 = -1 \implies x_2 = x_3 - 1 \] 将 $x_2 = x_3 - 1$ 代入第一个方程，我们得到： \[ x_1 - 2(x_3 - 1) + x_3 = 1 \implies x_1 - 2x_3 + 2 + x_3 = 1 \implies x_1 - x_3 = -1 \implies x_1 = x_3 - 1 \] 因此，方程组的通解是： \[ \begin{cases} x_1 = x_3 - 1 \\ x_2 = x_3 - 1 \\ x_3 = x_3 \end{cases} \] 我们可以将通解写为向量形式： \[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] 其中 $x_3$ 是任意实数。因此，方程组的通解是： \[ \boxed{-2} \] \[ \boxed{\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}} \] 其中 $k$ 是任意实数。