题目

设随机变量 X sim N(mu, sigma^2), 则 P|X-mu|A. 与 mu 及 sigma^2 都无关B. 与 mu 有关，与 sigma^2 无关C. 与 mu 无关，与 sigma^2 有关D. 与 mu 及 sigma^2 都有关

设随机变量 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, 则 $P\{|X-\mu|< 2\sigma\}$(\ldots).

A. 与 $\mu$ 及 $\sigma^2$ 都无关

B. 与 $\mu$ 有关，与 $\sigma^2$ 无关

C. 与 $\mu$ 无关，与 $\sigma^2$ 有关

D. 与 $\mu$ 及 $\sigma^2$ 都有关

题目解答

答案

A. 与 $\mu$ 及 $\sigma^2$ 都无关

解析

本题考查正态分布的性质以及概率的计算，解题的关键思路是通过标准化变换将给定的正态分布随机变量转化为标准正态分布随机变量，然后利用标准正态分布的性质计算概率，最后判断该概率与参数 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的关系。

  1. 首先，已知随机变量 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，根据正态分布的标准化变换公式：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。
    • 对于 $P\{|X - \mu| \lt 2\sigma\}$，根据绝对值不等式的性质，$|X - \mu| \lt 2\sigma$ 等价于 $-2\sigma \lt X - \mu \lt 2\sigma$。
    • 不等式两边同时除以 $\sigma$（因为 $\sigma\gt{}0$，不等号方向不变），得到 $\frac{-2\sigma}{\sigma} \lt \frac{X - \mu}{\sigma} \lt \frac{2\sigma}{\sigma}$，即 $-2 \lt \frac{X - \mu}{\sigma} \lt 2$。
    • 令 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则 $P\{|X - \mu| \lt 2\sigma\} = P\{-2 \lt Z \lt 2\}$。
  2. 然后，根据标准正态分布的性质，若 $Z \sim N(0, 1)$，其分布函数为 $\varPhi(z)$，则 $P\{-2 \lt Z \lt 2\} = \varPhi(2) - \varPhi(-2)$。
    • 又因为标准正态分布的分布函数具有性质 $\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，所以 $\varPhi(-2)=1 - \varPhi(2)$。
    • 则 $P\{-2 \lt Z \lt 2\} = \varPhi(2) - (1 - \varPhi(2))$。
    • 对上式进行化简：
      • $\varPhi(2) - (1 - \varPhi(2))=\varPhi(2)-1+\varPhi(2)=2\varPhi(2)-1$。
    • 由于 $\varPhi(2)$ 是一个确定的常数，所以 $2\varPhi(2)-1$ 也是一个确定的常数，与 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 都无关。