题目
在六阶行列式中，下列各项前应带什么符号？(1) a_(23) a_(31) a_(42) a_(56) a_(14) a_(65)；(2) a_(32) a_(43) a_(14) a_(51) a_(66) a_(25)。
在六阶行列式中，下列各项前应带什么符号？ (1) $a_{23} a_{31} a_{42} a_{56} a_{14} a_{65}$； (2) $a_{32} a_{43} a_{14} a_{51} a_{66} a_{25}$。
题目解答
答案
我们要判断六阶行列式中某个项前的符号。行列式展开式中，每一项的符号由排列的**逆序数**决定。如果排列的逆序数是偶数，则符号为正；如果是奇数，则符号为负。
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### 行列式展开中的一项形式：
$$
a_{i_1j_1} a_{i_2j_2} \cdots a_{i_nj_n}
$$
其中，$(i_1, i_2, \ldots, i_n)$ 是行指标的排列，$(j_1, j_2, \ldots, j_n)$ 是列指标的排列。
在行列式中，每一项都对应一个排列 $(j_1, j_2, \ldots, j_n)$，行指标通常是按自然顺序排列的 $(1,2,\ldots,n)$。所以我们需要将给定项中的行指标排序，得到列指标的排列，然后计算这个排列的逆序数。
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## (1) $a_{23} a_{31} a_{42} a_{56} a_{14} a_{65}$
我们先把行指标按自然顺序排列（1 到 6），并记录对应的列指标：
| 行指标 | 列指标 |
|--------|--------|
| 1 | 4 |
| 2 | 3 |
| 3 | 1 |
| 4 | 2 |
| 5 | 6 |
| 6 | 5 |
所以列指标排列为：(4, 3, 1, 2, 6, 5)
### 计算逆序数：
我们从左到右统计每个数右边比它小的数的个数：
- 4：右边比它小的有 3, 1, 2 → 3 个
- 3：右边比它小的有 1, 2 → 2 个
- 1：右边比它小的有 0 个
- 2：右边比它小的有 0 个
- 6：右边比它小的有 1 个（5）
- 5：右边比它小的有 0 个
总逆序数 = 3 + 2 + 0 + 0 + 1 + 0 = **6**
6 是偶数，所以符号为 **正号**。
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## (2) $a_{32} a_{43} a_{14} a_{51} a_{66} a_{25}$
同样地，将行指标按自然顺序排列，记录列指标：
| 行指标 | 列指标 |
|--------|--------|
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 2 |
| 4 | 3 |
| 5 | 1 |
| 6 | 6 |
所以列指标排列为：(4, 5, 2, 3, 1, 6)
### 计算逆序数：
- 4：右边比它小的有 2, 3, 1 → 3 个
- 5：右边比它小的有 2, 3, 1 → 3 个
- 2：右边比它小的有 1 → 1 个
- 3：右边比它小的有 1 → 1 个
- 1：右边比它小的有 0 个
- 6：右边比它小的有 0 个
总逆序数 = 3 + 3 + 1 + 1 + 0 + 0 = **8**
8 是偶数，所以符号为 **正号**。
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## 最终答案：
(1) 带正号
(2) 带正号
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✅ 答案：
(1) 符号为：$\boxed{+}$
(2) 符号为：$\boxed{+}$
解析
考查要点：本题主要考查行列式展开项的符号判断，核心在于计算列指标排列的逆序数。
解题思路：
- 确定列指标排列：将题目中的元素按行指标自然顺序（1到6）排列，对应记录列指标。
- 计算逆序数：统计排列中每个元素右侧比它小的元素个数之和。
- 判断符号：若逆序数为偶数，符号为正；若为奇数，符号为负。
(1) $a_{23} a_{31} a_{42} a_{56} a_{14} a_{65}$
确定列指标排列
按行指标自然顺序排列，对应列指标为：
$(4, 3, 1, 2, 6, 5)$
计算逆序数
- 4：右侧有3, 1, 2 → 3个
- 3：右侧有1, 2 → 2个
- 1：右侧无更小元素 → 0个
- 2：右侧无更小元素 → 0个
- 6：右侧有5 → 1个
- 5：右侧无更小元素 → 0个
总逆序数：$3 + 2 + 0 + 0 + 1 + 0 = 6$（偶数）
符号为正。
(2) $a_{32} a_{43} a_{14} a_{51} a_{66} a_{25}$
确定列指标排列
按行指标自然顺序排列，对应列指标为：
$(4, 5, 2, 3, 1, 6)$
计算逆序数
- 4：右侧有2, 3, 1 → 3个
- 5：右侧有2, 3, 1 → 3个
- 2：右侧有1 → 1个
- 3：右侧有1 → 1个
- 1：右侧无更小元素 → 0个
- 6：右侧无更小元素 → 0个
总逆序数：$3 + 3 + 1 + 1 + 0 + 0 = 8$（偶数）
符号为正。