题目

例 对于黎曼函数 R(x)=}(1)/(q),&x=(p)/(q)(p,q)=1,0,&x=(无理数以及)0,1R(x)=0.

例 对于黎曼函数 $R(x)=\begin{cases}\frac{1}{q},&x=\frac{p}{q}(p,q)=1,\\0,&x=\text{无理数以及}0,1\end{cases}.$ 证明：$\forall x_{0}\in(0,1),\lim_{x\to x_{0}}R(x)=0.$

题目解答

答案

对于任意 $ x_0 \in (0,1) $，给定 $ \epsilon > 0 $，取 $ N > \frac{1}{\epsilon} $。在区间 $ (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $ 内，分母 $ q \leq N $ 的有理数有限，可选 $ \delta $ 使这些数不在该区间（除可能的 $ x_0 $）。 当 $ 0 < |x - x_0| < \delta $ 时： - 有理数 $ x = \frac{p}{q} $（$ q > N $）：$ R(x) = \frac{1}{q} < \frac{1}{N} < \epsilon $； - 无理数 $ x $：$ R(x) = 0 < \epsilon $。 故对任意 $ \epsilon > 0 $，存在 $ \delta > 0 $，使 $ |R(x)| < \epsilon $，证得 $\boxed{\lim_{x \to x_0} R(x) = 0}.$

解析

本题考查黎曼函数的极限证明，解题的关键思路是依据函数极限的定义来进行证明。函数极限的定义为：对于函数$y = f(x)$，如果对于任意给定的正数$\epsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x) - A| < \epsilon$，那么就称常数$A$是函数$f(x)$当$x \to x_0$时的极限，记作$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。在本题中，$f(x)=R(x)$，$A = 0$，我们需要根据这个定义，对于任意给定的$\epsilon>0$，找到满足条件的$\delta$。

  1. 对于任意给定的$\epsilon>0$，我们要找到一个合适的$\delta$。
    • 首先取$N > \frac{1}{\epsilon}$。
    • 考虑区间$(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$，在这个区间内，分母$q \leq N$的有理数是有限个。这是因为在一个有限区间内，分母不超过$N$的既约分数（有理数）的个数是有限的。
    • 由于这些分母$q \leq N$的有理数是有限个，我们可以选择一个足够小的$\delta$，使得这些有理数（除了可能的$x_0$本身）都不在区间$(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$内。
  2. 接下来分情况讨论当$0 < |x - x_0| < \delta$时$R(x)$的取值：
    • 情况一：当$x$是有理数时
      设$x=\frac{p}{q}$（$p,q$互质），因为我们已经选择了$\delta$使得分母$q \leq N$的有理数（除可能的$x_0$）不在区间$(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$内，所以此时$q > N$。
      根据黎曼函数的定义$R(x)=\frac{1}{q}$，又因为$q > N$，且$N > \frac{1}{\epsilon}$，所以$R(x)=\frac{1}{q}<\frac{1}{N}<\epsilon$。
    • 情况二：当$x$是无理数时
      根据黎曼函数的定义，$R(x) = 0$，显然$0 < \epsilon$。

综合以上两种情况，对于任意给定的$\epsilon>0$，我们都找到了一个正数$\delta$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，都有$|R(x) - 0|=|R(x)|<\epsilon$。根据函数极限的定义，就证明了$\lim_{x \to x_0} R(x) = 0$。