题目

[题目]设A,B,C是三个事件,且 (A)=P(B)=P(C)=dfrac (1)(4)-|||-P(AB)=P(BC)=0 ,P(AC)=1/8, 求A,B,C至少有一个-|||-发生的概率。

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查三个事件并集的概率计算，需要熟练运用容斥原理，并注意事件间相互独立或互斥的关系对计算的影响。

解题核心思路：

  1. 利用容斥原理公式展开三个事件并集的概率：
    $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$
  2. 根据题目条件，关键点在于分析事件间的交集关系：
    • $P(AB)=0$ 和 $P(BC)=0$ 说明 $A$ 与 $B$、$B$ 与 $C$ 互斥，因此 $P(ABC)=0$；
    • $P(AC)=\dfrac{1}{8}$ 说明 $A$ 与 $C$ 不互斥，但需注意三者交集为0。

步骤1：代入容斥原理公式
根据公式：
$\begin{aligned}P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) \\&\quad - P(AB) - P(BC) - P(AC) \\&\quad + P(ABC)\end{aligned}$

步骤2：分析事件间的关系

  • 由 $P(AB)=0$ 和 $P(BC)=0$，可知 $A$ 与 $B$、$B$ 与 $C$ 互斥，因此 $P(ABC)=0$；
  • $P(AC)=\dfrac{1}{8}$ 说明 $A$ 与 $C$ 不互斥，但三者交集为0。

步骤3：代入已知数值
将已知条件代入公式：
$\begin{aligned}P(A \cup B \cup C) &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \\&\quad - 0 - 0 - \dfrac{1}{8} \\&\quad + 0 \\&= \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{8} \\&= \dfrac{6}{8} - \dfrac{1}{8} \\&= \dfrac{5}{8}\end{aligned}$