题目
下列命题中正确的是 () A. 任意 n 个 n+1 维向量线性相关 B. 任意 n 个 n+1 维向量线性无关 C. 任意 n+1 个 n 维向量线性相关 D. 任意 n+1 个 n 维向量线性无关
下列命题中正确的是
A. 任意
B. 任意
C. 任意
D. 任意
题目解答
答案
①选项A. 如向量组：
②选项B. 如向量组：
③选项
故
故选：C.
解析
步骤 1：理解向量组线性相关和线性无关的定义
向量组线性相关意味着存在一组不全为零的数，使得这些数与向量组中的向量相乘后之和为零向量。线性无关则意味着不存在这样的数。
步骤 2：分析选项A和B
选项A和B讨论的是n个n+1维向量的线性相关性。由于向量的维数大于向量的个数，这并不直接决定线性相关或线性无关。例如，n=2时，考虑向量组：e1=(1,0,0)，e2=(0,1,0)，它们是线性无关的，故A错误；而向量组：α1=(1,0,0)，α2=(2,0,0)，它们是线性相关的，故B错误。
步骤 3：分析选项C和D
选项C和D讨论的是n+1个n维向量的线性相关性。由于向量的个数大于向量的维数，根据线性代数的基本定理，这样的向量组必定线性相关。因此，C正确，D错误。
向量组线性相关意味着存在一组不全为零的数，使得这些数与向量组中的向量相乘后之和为零向量。线性无关则意味着不存在这样的数。
步骤 2：分析选项A和B
选项A和B讨论的是n个n+1维向量的线性相关性。由于向量的维数大于向量的个数，这并不直接决定线性相关或线性无关。例如，n=2时，考虑向量组：e1=(1,0,0)，e2=(0,1,0)，它们是线性无关的，故A错误；而向量组：α1=(1,0,0)，α2=(2,0,0)，它们是线性相关的，故B错误。
步骤 3：分析选项C和D
选项C和D讨论的是n+1个n维向量的线性相关性。由于向量的个数大于向量的维数，根据线性代数的基本定理，这样的向量组必定线性相关。因此，C正确，D错误。