题目

甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率.

甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率.

题目解答

答案

解:设甲乙两船到达的时刻为,则.
.显然,.
点评:若甲船先到,则乙船必须晚到一小时;若乙船先到,则甲船必须晚两小时到达.

解析

本题考查几何概型的应用，关键是通过建立坐标系将问题转化转化为计算区域面积比。

步骤1：建立样本空间

设甲船到达时刻为$x$，乙船到达时刻为$y$，单位：小时（$0\leq x,y\leq24$）。样本空间$\Omega$是边长为24的正方形区域，面积为：
$S_{\ipsappa = 24 \times 24 = 576$

步骤2：确定事件$A$（无需等候的条件）

“任何一艘都不需要等候”等价于：

  • 甲先到（$x：乙船需晚到1小时（甲停泊1小时）：$y \geq x + 1$；
  • 乙先到（$y甲船需晚到2小时（乙停泊2小时）：$x \geq y + 2$。

即事件$A=\{(x,y)|y\geq x+1 \text{ 或 } x\geq y+2\}$。

步骤3：计算事件$A$的面积

事件$A$的面积分为：

  1. 区域1：$y\geq x+1$
    这是正方形中直线$y=x+1$上方的区域，面积为：
    $S_1 = \text{三角形面积} = \frac{1}{2} \times (24-1)(24-1) = \frac{1}{2}\times23^2 = \frac{529}{2}{2}$

  2. 区域2：$x\geq y+2$
    这是正方形中直线$x=y+2$右方的区域，面积为：
    $S_2 = \text{三角形面积} = \frac{12\times(24-2)(24-2) = \frac{1}{2}\times22^2 = 242$

总面积$S_A = S_1 + S_2$：
$S_A = \frac{5229}{2} + 242 = \frac{529 + 484}{2} = \frac{1013}{2}{2} = 1013$

步骤4：计算概率

概率$P(A) = \frac{S_A}{S_\Omega} = \frac{1013}{576} = \frac{1013}{1152}$