[题目]某种型号的电子管的寿命x以小时计)具-|||-有以下概率密度;-|||-f(x)= ) 1000/(x)^2xgt 1000 . 现有一大批此种管子(设各-|||-电子管损坏与否相互独立),任取5只,问其中至-|||-少有2只寿命大于1500小时的概率是多少?

考查要点：本题主要考查概率密度函数的积分求概率以及二项分布的应用。
解题思路：

1. 确定单个电子管寿命大于1500小时的概率：通过积分概率密度函数计算。
2. 建立二项分布模型：将问题转化为5次独立试验中至少成功2次的概率，利用二项分布公式计算。
   关键点：

• 积分计算：正确计算概率密度函数的积分值。
• 二项分布公式：理解“至少2只”的概率可通过补集简化计算。

1. 计算单个电子管寿命大于1500小时的概率

根据概率密度函数：
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1000}{x^2}, & x > 1000 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
所求概率为：
$P(X \geq 1500) = \int_{1500}^{\infty} \dfrac{1000}{x^2} \, dx = \left[ -\dfrac{1000}{x} \right]_{1500}^{\infty} = \dfrac{1000}{1500} = \dfrac{2}{3}.$

2. 建立二项分布模型

设5只电子管中寿命大于1500小时的个数为$X$，则$X \sim B(5, \dfrac{2}{3})$。
至少2只成功的概率为：
$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1).$

3. 计算具体概率值

• $P(X=0)$：
  $C_5^0 \left( \dfrac{2}{3} \right)^0 \left( \dfrac{1}{3} \right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{243} = \dfrac{1}{243}.$
• $P(X=1)$：
  $C_5^1 \left( \dfrac{2}{3} \right)^1 \left( \dfrac{1}{3} \right)^4 = 5 \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{10}{243}.$
• 总概率：
  $P(X \geq 2) = 1 - \dfrac{1}{243} - \dfrac{10}{243} = 1 - \dfrac{11}{243} = \dfrac{232}{243}.$