设(x,y,z)=(x)^2+(y)^3+z,求(x,y,z)=(x)^2+(y)^3+z,在点(x,y,z)=(x)^2+(y)^3+z,处沿方向(x,y,z)=(x)^2+(y)^3+z,的方向导数

本题考查多元函数方向导数的计算，解题思路是先求出函数在给定点处的偏导数，得到梯度向量，再求出给定方向的单位向量，最后将梯度向量与单位向量做点积，得到方向导数。

下面我们一步一步进行计算：

1. 求函数$f(x,y,z)$在点$P(1,1,1)$处的偏导数：
   • 对$x$求偏导数：${f}_{x}=\frac{\partial f}{\partial x}=2x$，将点$P(1,1,1)$的$x = 1$代入，得到${f}_{x}\big|_{(1,1,1)} = 2\times1 = 2$。
   • 对$y$求偏导数：${f}_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}$，将点$P(1,1,1)$的$y = 1$代入，得到${f}_{y}\big|_{(1,1,1)} = 3\times1^{2}= 3$。
   • 对$z$求偏导数：${f}_{z}=\frac{\partial f}{\partial z}=1$。
2. 得到梯度向量$\text{grad}f$：
   梯度向量$\text{grad}f = (\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$，将上面求得的偏导数代入，得到$\text{grad}f\big|_{(1,1,1)} = (2,3,1)$。
3. 求方向$\overrightarrow{i}=(1,1,-2)$的单位向量$\overrightarrow{e}$：
   单位向量$\overrightarrow{e}=\frac{\overrightarrow{i}}{\vert\overrightarrow{i}\vert}$，其中$\vert\overrightarrow{i}\vert=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1 + 1 + 4}=\sqrt{6}$。
   所以$\overrightarrow{e}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)$。
4. 求方向导数$\frac{\partial f}{\partial l}$：
   方向导数$\frac{\partial f}{\partial l}=\text{grad}f\cdot\overrightarrow{e}$，将梯度向量$\text{grad}f = (2,3,1)$和单位向量$\overrightarrow{e}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)$代入，得到：
   $\frac{\partial f}{\partial l}=(2,3,1)\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)=\frac{2\times1 + 3\times1 + 1\times(-2)}{\sqrt{6}}=\frac{2 + 3 - 2}{\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{6}}$。