题目
3.若A可逆，且A~B，证明 A^* sim B^*， A^m sim B^m (m为正整数).
3.若A可逆，且A~B，证明 $A^{*} \sim B^{*}$， $A^{m} \sim B^{m}$ (m为正整数).
题目解答
答案
已知 $A$ 可逆且 $A \sim B$，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$。
1. **证明 $A^* \sim B^*$**：
利用伴随矩阵性质，
\[
B^* = (P^{-1}AP)^* = P^*A^*(P^{-1})^* = P^*A^*(P^*)^{-1},
\]
取 $Q = P^*$，则 $B^* = Q^{-1}A^*Q$，故 $A^* \sim B^*$。
2. **证明 $A^m \sim B^m$（$m$ 为正整数）**：
由矩阵乘积的幂性质，
\[
B^m = (P^{-1}AP)^m = P^{-1}A^mP,
\]
取 $R = P$，则 $B^m = R^{-1}A^mR$，故 $A^m \sim B^m$。
**答案**：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
1. & A^* \sim B^* \\
2. & A^m \sim B^m \quad (m \text{ 为正整数})
\end{array}
}
\]
解析
本题主要考察矩阵相似的性质及伴随矩阵、矩阵幂的相关运算，解题关键是利用相似矩阵的定义（存在可逆矩阵$P$使得$B=P^{-1}AP$），结合伴随矩阵性质和矩阵幂的运算规律证明结论。
1. 证明$A^* \sim B^*$
核心思路：利用相似矩阵定义及伴随矩阵性质$(AB)^*=B^*A^*$和$(P^{-1})^*=(P^*)^{-1}$。
- 因$A\sim B$，存在可逆矩阵$P$，使$B=P^{-1}AP$。
- 对$B$取伴随矩阵：
$B^*=(P^{-1}AP)^*=(AP)^*(P^{-1})^*=P^*A^*(P^{-1})^*$ - 由可逆矩阵性质：$(P^{-1})^*=(P^*)^{-1}$，代入得：
$B^*=P^*A^*(P^*)^{-1}$ - 令$Q=P^*$（$Q$可逆，因$P$可逆），则$B^*=Q^{-1}A^*Q$，故$A^*\sim B^*$。
2. 证明$A^m \sim B^m$
核心思路：利用矩阵幂的运算规律$(P^{-1}AP)^m=P^{-1}A^mP$。
- 因$B=P^{-1}AP$，对等式两边取$m$次幂：
$B^m=(P^{-1}AP)^m=\underbrace{(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\cdots(P^{-1}AP)}_{m次}$ - 中间项$PP^{-1}=E$（单位阵），化简得：
$B^m=P^{-1}A^mP$ - 令$R=P$（$R$可逆），则$B^m=R^{-1}A^mR$，故$A^m\sim B^m$。